Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38972 / 28542
↖ ↑ ↗
← N 22.603869°
E 34.079590°		 ← 563.87 m → N 22.603869°
E 34.085083°		 →
↑
563.96 m
↓
↑
563.96 m
↓
N 22.598797°
E 34.079590°		 ← 563.89 m →
318 006 m²		 N 22.598797°
E 34.085083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594673156738281 y=0.435523986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594673156738281 × 216)
    floor (0.594673156738281 × 65536)
    floor (38972.5)     		tx = 38972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435523986816406 × 216)
    floor (0.435523986816406 × 65536)
    floor (28542.5)     		ty = 28542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38972 / 28542 ti = "16/38972/28542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38972/28542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38972 ÷ 216
    38972 ÷ 65536     		x = 0.59466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28542 ÷ 216
    28542 ÷ 65536     		y = 0.435516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59466552734375 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435516357421875 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.405162675588715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59480105} λ = 0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405162675588715))-π/2
    2×atan(1.49954641981298)-π/2
    2×0.982654130890848-π/2
    1.9653082617817-1.57079632675     		φ = 0.39451194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39451194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.603869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38972 KachelY 28542 0.59480105 0.39451194 34.079590 22.603869
    Oben rechts KachelX + 1 38973 KachelY 28542 0.59489692 0.39451194 34.085083 22.603869
    Unten links KachelX 38972 KachelY + 1 28543 0.59480105 0.39442342 34.079590 22.598797
    Unten rechts KachelX + 1 38973 KachelY + 1 28543 0.59489692 0.39442342 34.085083 22.598797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39451194-0.39442342) × R
    8.85199999999808e-05 × 6371000     		dl = 563.960919999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39451194-0.39442342) × R
    8.85199999999808e-05 × 6371000     		dr = 563.960919999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59480105-0.59489692) × cos(0.39451194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923184263910219 × 6371000     		do = 563.869657852802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59480105-0.59489692) × cos(0.39442342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923218283633767 × 6371000     		du = 563.890436683884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39451194)-sin(0.39442342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923184263910219-0.923218283633767)×R²
    abs(0.59489692-0.59480105)×3.40197235479955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40197235479955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40197235479955e-05×40589641000000     		ar = 318006.310434724m²