Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38971 / 42373
↖ ↑ ↗
← S 46.577743°
E 34.074097°		 ← 419.84 m → S 46.577743°
E 34.079590°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
S 46.581519°
E 34.074097°		 ← 419.81 m →
176 262 m²		 S 46.581519°
E 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594657897949219 y=0.646568298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594657897949219 × 216)
    floor (0.594657897949219 × 65536)
    floor (38971.5)     		tx = 38971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646568298339844 × 216)
    floor (0.646568298339844 × 65536)
    floor (42373.5)     		ty = 42373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38971 / 42373 ti = "16/38971/42373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38971/42373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38971 ÷ 216
    38971 ÷ 65536     		x = 0.594650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42373 ÷ 216
    42373 ÷ 65536     		y = 0.646560668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594650268554688 × 2 - 1) × π
    0.189300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59470518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646560668945312 × 2 - 1) × π
    -0.293121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.920867841701279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59470518} λ = 0.59470518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920867841701279))-π/2
    2×atan(0.398173339670656)-π/2
    2×0.378930678729714-π/2
    0.757861357459429-1.57079632675     		φ = -0.81293497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59470518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.074097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81293497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.577743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38971 KachelY 42373 0.59470518 -0.81293497 34.074097 -46.577743
    Oben rechts KachelX + 1 38972 KachelY 42373 0.59480105 -0.81293497 34.079590 -46.577743
    Unten links KachelX 38971 KachelY + 1 42374 0.59470518 -0.81300087 34.074097 -46.581519
    Unten rechts KachelX + 1 38972 KachelY + 1 42374 0.59480105 -0.81300087 34.079590 -46.581519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81293497--0.81300087) × R
    6.58999999999521e-05 × 6371000     		dl = 419.848899999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81293497--0.81300087) × R
    6.58999999999521e-05 × 6371000     		dr = 419.848899999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59470518-0.59480105) × cos(-0.81293497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687369705191009 × 6371000     		do = 419.837009399164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59470518-0.59480105) × cos(-0.81300087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687321840020452 × 6371000     		du = 419.807773938379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81293497)-sin(-0.81300087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687369705191009-0.687321840020452)×R²
    abs(0.59480105-0.59470518)×4.78651705569932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78651705569932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78651705569932e-05×40589641000000     		ar = 176261.969400869m²