Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38971 / 42366
↖ ↑ ↗
← S 46.551305°
E 34.074097°		 ← 420.04 m → S 46.551305°
E 34.079590°		 →
↑
420.04 m
↓
↑
420.04 m
↓
S 46.555083°
E 34.074097°		 ← 420.01 m →
176 428 m²		 S 46.555083°
E 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594657897949219 y=0.646461486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594657897949219 × 216)
    floor (0.594657897949219 × 65536)
    floor (38971.5)     		tx = 38971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646461486816406 × 216)
    floor (0.646461486816406 × 65536)
    floor (42366.5)     		ty = 42366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38971 / 42366 ti = "16/38971/42366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38971/42366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38971 ÷ 216
    38971 ÷ 65536     		x = 0.594650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42366 ÷ 216
    42366 ÷ 65536     		y = 0.646453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594650268554688 × 2 - 1) × π
    0.189300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59470518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.29290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.920196725106598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59470518} λ = 0.59470518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920196725106598))-π/2
    2×atan(0.398440650094666)-π/2
    2×0.379161387553068-π/2
    0.758322775106137-1.57079632675     		φ = -0.81247355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59470518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.074097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81247355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.551305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38971 KachelY 42366 0.59470518 -0.81247355 34.074097 -46.551305
    Oben rechts KachelX + 1 38972 KachelY 42366 0.59480105 -0.81247355 34.079590 -46.551305
    Unten links KachelX 38971 KachelY + 1 42367 0.59470518 -0.81253948 34.074097 -46.555083
    Unten rechts KachelX + 1 38972 KachelY + 1 42367 0.59480105 -0.81253948 34.079590 -46.555083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81247355--0.81253948) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dl = 420.040029999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81247355--0.81253948) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dr = 420.040029999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59470518-0.59480105) × cos(-0.81247355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		do = 420.04165977706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59470518-0.59480105) × cos(-0.81253948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687656898862865 × 6371000     		du = 420.012423781556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81247355)-sin(-0.81253948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687704764908881-0.687656898862865)×R²
    abs(0.59480105-0.59470518)×4.78660460159208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78660460159208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78660460159208e-05×40589641000000     		ar = 176428.171293668m²