Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38968 / 42362
↖ ↑ ↗
← S 46.536192°
E 34.057617°		 ← 420.16 m → S 46.536192°
E 34.063110°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
S 46.539971°
E 34.057617°		 ← 420.13 m →
176 531 m²		 S 46.539971°
E 34.063110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594612121582031 y=0.646400451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594612121582031 × 216)
    floor (0.594612121582031 × 65536)
    floor (38968.5)     		tx = 38968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646400451660156 × 216)
    floor (0.646400451660156 × 65536)
    floor (42362.5)     		ty = 42362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38968 / 42362 ti = "16/38968/42362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38968/42362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38968 ÷ 216
    38968 ÷ 65536     		x = 0.5946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42362 ÷ 216
    42362 ÷ 65536     		y = 0.646392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5946044921875 × 2 - 1) × π
    0.189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59441756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.29278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.919813229909637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59441756} λ = 0.59441756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919813229909637))-π/2
    2×atan(0.398593479473045)-π/2
    2×0.379293271646767-π/2
    0.758586543293533-1.57079632675     		φ = -0.81220978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59441756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81220978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.536192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38968 KachelY 42362 0.59441756 -0.81220978 34.057617 -46.536192
    Oben rechts KachelX + 1 38969 KachelY 42362 0.59451343 -0.81220978 34.063110 -46.536192
    Unten links KachelX 38968 KachelY + 1 42363 0.59441756 -0.81227573 34.057617 -46.539971
    Unten rechts KachelX + 1 38969 KachelY + 1 42363 0.59451343 -0.81227573 34.063110 -46.539971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81220978--0.81227573) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81220978--0.81227573) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59441756-0.59451343) × cos(-0.81220978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687896235488408 × 6371000     		do = 420.158607665351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59441756-0.59451343) × cos(-0.81227573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		du = 420.129370108423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81220978)-sin(-0.81227573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687896235488408-0.687848366885984)×R²
    abs(0.59451343-0.59441756)×4.78686024244501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78686024244501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78686024244501e-05×40589641000000     		ar = 176530.828507653m²