Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38964 / 42356
↖ ↑ ↗
← S 46.513515°
E 34.035645°		 ← 420.33 m → S 46.513515°
E 34.041137°		 →
↑
420.36 m
↓
↑
420.36 m
↓
S 46.517296°
E 34.035645°		 ← 420.30 m →
176 685 m²		 S 46.517296°
E 34.041137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594551086425781 y=0.646308898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594551086425781 × 216)
    floor (0.594551086425781 × 65536)
    floor (38964.5)     		tx = 38964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646308898925781 × 216)
    floor (0.646308898925781 × 65536)
    floor (42356.5)     		ty = 42356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38964 / 42356 ti = "16/38964/42356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38964/42356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38964 ÷ 216
    38964 ÷ 65536     		x = 0.59454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42356 ÷ 216
    42356 ÷ 65536     		y = 0.64630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59454345703125 × 2 - 1) × π
    0.1890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59403406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919237987114197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59403406} λ = 0.59403406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919237987114197))-π/2
    2×atan(0.398822833461211)-π/2
    2×0.379491166626936-π/2
    0.758982333253872-1.57079632675     		φ = -0.81181399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59403406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.035645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81181399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.513515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38964 KachelY 42356 0.59403406 -0.81181399 34.035645 -46.513515
    Oben rechts KachelX + 1 38965 KachelY 42356 0.59412993 -0.81181399 34.041137 -46.513515
    Unten links KachelX 38964 KachelY + 1 42357 0.59403406 -0.81187997 34.035645 -46.517296
    Unten rechts KachelX + 1 38965 KachelY + 1 42357 0.59412993 -0.81187997 34.041137 -46.517296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81181399--0.81187997) × R
    6.5980000000021e-05 × 6371000     		dl = 420.358580000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81181399--0.81187997) × R
    6.5980000000021e-05 × 6371000     		dr = 420.358580000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59403406-0.59412993) × cos(-0.81181399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688183449563287 × 6371000     		do = 420.334034509658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59403406-0.59412993) × cos(-0.81187997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688135577152232 × 6371000     		du = 420.304794626465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81181399)-sin(-0.81187997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688183449563287-0.688135577152232)×R²
    abs(0.59412993-0.59403406)×4.78724110553053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78724110553053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78724110553053e-05×40589641000000     		ar = 176684.872318386m²