Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38964 / 28540
↖ ↑ ↗
← N 22.614011°
E 34.035645°		 ← 563.83 m → N 22.614011°
E 34.041137°		 →
↑
563.90 m
↓
↑
563.90 m
↓
N 22.608940°
E 34.035645°		 ← 563.85 m →
317 947 m²		 N 22.608940°
E 34.041137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594551086425781 y=0.435493469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594551086425781 × 216)
    floor (0.594551086425781 × 65536)
    floor (38964.5)     		tx = 38964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435493469238281 × 216)
    floor (0.435493469238281 × 65536)
    floor (28540.5)     		ty = 28540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38964 / 28540 ti = "16/38964/28540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38964/28540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38964 ÷ 216
    38964 ÷ 65536     		x = 0.59454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28540 ÷ 216
    28540 ÷ 65536     		y = 0.43548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59454345703125 × 2 - 1) × π
    0.1890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59403406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.405354423187195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59403406} λ = 0.59403406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405354423187195))-π/2
    2×atan(1.49983398180657)-π/2
    2×0.982742636811882-π/2
    1.96548527362376-1.57079632675     		φ = 0.39468895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59403406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.035645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39468895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.614011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38964 KachelY 28540 0.59403406 0.39468895 34.035645 22.614011
    Oben rechts KachelX + 1 38965 KachelY 28540 0.59412993 0.39468895 34.041137 22.614011
    Unten links KachelX 38964 KachelY + 1 28541 0.59403406 0.39460044 34.035645 22.608940
    Unten rechts KachelX + 1 38965 KachelY + 1 28541 0.59412993 0.39460044 34.041137 22.608940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39468895-0.39460044) × R
    8.85099999999861e-05 × 6371000     		dl = 563.897209999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39468895-0.39460044) × R
    8.85099999999861e-05 × 6371000     		dr = 563.897209999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59403406-0.59412993) × cos(0.39468895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923116214297387 × 6371000     		do = 563.828093981531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59403406-0.59412993) × cos(0.39460044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92315024464158 × 6371000     		du = 563.848879299573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39468895)-sin(0.39460044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923116214297387-0.92315024464158)×R²
    abs(0.59412993-0.59403406)×3.40303441930256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40303441930256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40303441930256e-05×40589641000000     		ar = 317946.949714824m²