Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3896 / 4695
↖ ↑ ↗
← S 25.443274°
W  8.789063°		 ← 4 412.56 m → S 25.443274°
W  8.745117°		 →
↑
4 411.85 m
↓
↑
4 411.85 m
↓
S 25.482951°
W  8.789063°		 ← 4 411.10 m →
19 464 350 m²		 S 25.482951°
W  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47564697265625 y=0.57318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47564697265625 × 213)
    floor (0.47564697265625 × 8192)
    floor (3896.5)     		tx = 3896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57318115234375 × 213)
    floor (0.57318115234375 × 8192)
    floor (4695.5)     		ty = 4695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3896 / 4695 ti = "13/3896/4695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3896/4695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3896 ÷ 213
    3896 ÷ 8192     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4695 ÷ 213
    4695 ÷ 8192     		y = 0.5731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5731201171875 × 2 - 1) × π
    -0.146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.459427245958618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459427245958618))-π/2
    2×atan(0.631645319331333)-π/2
    2×0.563363706166468-π/2
    1.12672741233294-1.57079632675     		φ = -0.44406891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44406891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.443274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3896 KachelY 4695 -0.15339808 -0.44406891 -8.789063 -25.443274
    Oben rechts KachelX + 1 3897 KachelY 4695 -0.15263109 -0.44406891 -8.745117 -25.443274
    Unten links KachelX 3896 KachelY + 1 4696 -0.15339808 -0.44476140 -8.789063 -25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 3897 KachelY + 1 4696 -0.15263109 -0.44476140 -8.745117 -25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44406891--0.44476140) × R
    0.00069248999999999 × 6371000     		dl = 4411.85378999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44406891--0.44476140) × R
    0.00069248999999999 × 6371000     		dr = 4411.85378999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15263109) × cos(-0.44406891) × R
    0.000766989999999995 × 0.903011069116525 × 6371000     		do = 4412.5575300336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15263109) × cos(-0.44476140) × R
    0.000766989999999995 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 4411.10271267731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44406891)-sin(-0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903011069116525-0.902713346952603)×R²
    abs(-0.15263109--0.15339808)×0.000297722163921765×R²
    0.000766989999999995×0.000297722163921765×6371000²
    0.000766989999999995×0.000297722163921765×40589641000000     		ar = 19464350.2195704m²