Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3895 / 4756
↖ ↑ ↗
← S 27.839076°
W  8.833008°		 ← 4 320.94 m → S 27.839076°
W  8.789063°		 →
↑
4 320.18 m
↓
↑
4 320.18 m
↓
S 27.877928°
W  8.833008°		 ← 4 319.40 m →
18 663 889 m²		 S 27.877928°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47552490234375 y=0.58062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47552490234375 × 213)
    floor (0.47552490234375 × 8192)
    floor (3895.5)     		tx = 3895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58062744140625 × 213)
    floor (0.58062744140625 × 8192)
    floor (4756.5)     		ty = 4756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3895 / 4756 ti = "13/3895/4756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3895/4756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3895 ÷ 213
    3895 ÷ 8192     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4756 ÷ 213
    4756 ÷ 8192     		y = 0.58056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506213659987793))-π/2
    2×atan(0.602773569150951)-π/2
    2×0.542456394120286-π/2
    1.08491278824057-1.57079632675     		φ = -0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3895 KachelY 4756 -0.15416507 -0.48588354 -8.833008 -27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 3896 KachelY 4756 -0.15339808 -0.48588354 -8.789063 -27.839076
    Unten links KachelX 3895 KachelY + 1 4757 -0.15416507 -0.48656164 -8.833008 -27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 3896 KachelY + 1 4757 -0.15339808 -0.48656164 -8.789063 -27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48588354--0.48656164) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dl = 4320.17510000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48588354--0.48656164) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dr = 4320.17510000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15339808) × cos(-0.48588354) × R
    0.000766989999999995 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 4320.9437018717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15339808) × cos(-0.48656164) × R
    0.000766989999999995 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 4319.39532326086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48588354)-sin(-0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.15339808--0.15416507)×0.000316869075417503×R²
    0.000766989999999995×0.000316869075417503×6371000²
    0.000766989999999995×0.000316869075417503×40589641000000     		ar = 18663889.4711379m²