Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3895 / 1621
↖ ↑ ↗
← N 72.958315°
W  8.833008°		 ← 1 432.07 m → N 72.958315°
W  8.789063°		 →
↑
1 432.58 m
↓
↑
1 432.58 m
↓
N 72.945431°
W  8.833008°		 ← 1 433.12 m →
2 052 314 m²		 N 72.945431°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47552490234375 y=0.19793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47552490234375 × 213)
    floor (0.47552490234375 × 8192)
    floor (3895.5)     		tx = 3895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19793701171875 × 213)
    floor (0.19793701171875 × 8192)
    floor (1621.5)     		ty = 1621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3895 / 1621 ti = "13/3895/1621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3895/1621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3895 ÷ 213
    3895 ÷ 8192     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1621 ÷ 213
    1621 ÷ 8192     		y = 0.1978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1978759765625 × 2 - 1) × π
    0.604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89830122495422))-π/2
    2×atan(6.67454625338117)-π/2
    2×1.4220795684278-π/2
    2.8441591368556-1.57079632675     		φ = 1.27336281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27336281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.958315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3895 KachelY 1621 -0.15416507 1.27336281 -8.833008 72.958315
    Oben rechts KachelX + 1 3896 KachelY 1621 -0.15339808 1.27336281 -8.789063 72.958315
    Unten links KachelX 3895 KachelY + 1 1622 -0.15416507 1.27313795 -8.833008 72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 3896 KachelY + 1 1622 -0.15339808 1.27313795 -8.789063 72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27336281-1.27313795) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dl = 1432.58306000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27336281-1.27313795) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dr = 1432.58306000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15339808) × cos(1.27336281) × R
    0.000766989999999995 × 0.293067381027397 × 6371000     		do = 1432.07179090824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15339808) × cos(1.27313795) × R
    0.000766989999999995 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 1433.12228624989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27336281)-sin(1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293067381027397-0.29328236041636)×R²
    abs(-0.15339808--0.15416507)×0.000214979388962977×R²
    0.000766989999999995×0.000214979388962977×6371000²
    0.000766989999999995×0.000214979388962977×40589641000000     		ar = 2052314.25792207m²