Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38943 / 28513
↖ ↑ ↗
← N 22.750855°
E 33.920288°		 ← 563.27 m → N 22.750855°
E 33.925781°		 →
↑
563.32 m
↓
↑
563.32 m
↓
N 22.745789°
E 33.920288°		 ← 563.29 m →
317 307 m²		 N 22.745789°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594230651855469 y=0.435081481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594230651855469 × 216)
    floor (0.594230651855469 × 65536)
    floor (38943.5)     		tx = 38943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435081481933594 × 216)
    floor (0.435081481933594 × 65536)
    floor (28513.5)     		ty = 28513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38943 / 28513 ti = "16/38943/28513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38943/28513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38943 ÷ 216
    38943 ÷ 65536     		x = 0.594223022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28513 ÷ 216
    28513 ÷ 65536     		y = 0.435073852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594223022460938 × 2 - 1) × π
    0.188446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59202071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435073852539062 × 2 - 1) × π
    0.129852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407943015766678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59202071} λ = 0.59202071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407943015766678))-π/2
    2×atan(1.50372147031351)-π/2
    2×0.983936827140181-π/2
    1.96787365428036-1.57079632675     		φ = 0.39707733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59202071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.920288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39707733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.750855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38943 KachelY 28513 0.59202071 0.39707733 33.920288 22.750855
    Oben rechts KachelX + 1 38944 KachelY 28513 0.59211658 0.39707733 33.925781 22.750855
    Unten links KachelX 38943 KachelY + 1 28514 0.59202071 0.39698891 33.920288 22.745789
    Unten rechts KachelX + 1 38944 KachelY + 1 28514 0.59211658 0.39698891 33.925781 22.745789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39707733-0.39698891) × R
    8.84200000000335e-05 × 6371000     		dl = 563.323820000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39707733-0.39698891) × R
    8.84200000000335e-05 × 6371000     		dr = 563.323820000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59202071-0.59211658) × cos(0.39707733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.922195199840395 × 6371000     		do = 563.265549615207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59202071-0.59211658) × cos(0.39698891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.922229390435682 × 6371000     		du = 563.286432812657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39707733)-sin(0.39698891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922195199840395-0.922229390435682)×R²
    abs(0.59211658-0.59202071)×3.4190595287642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4190595287642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4190595287642e-05×40589641000000     		ar = 317306.783291768m²