Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38941 / 28511
↖ ↑ ↗
← N 22.760986°
E 33.909302°		 ← 563.28 m → N 22.760986°
E 33.914795°		 →
↑
563.26 m
↓
↑
563.26 m
↓
N 22.755921°
E 33.909302°		 ← 563.30 m →
317 280 m²		 N 22.755921°
E 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594200134277344 y=0.435050964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594200134277344 × 216)
    floor (0.594200134277344 × 65536)
    floor (38941.5)     		tx = 38941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435050964355469 × 216)
    floor (0.435050964355469 × 65536)
    floor (28511.5)     		ty = 28511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38941 / 28511 ti = "16/38941/28511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38941/28511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38941 ÷ 216
    38941 ÷ 65536     		x = 0.594192504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28511 ÷ 216
    28511 ÷ 65536     		y = 0.435043334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594192504882812 × 2 - 1) × π
    0.188385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59182896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435043334960938 × 2 - 1) × π
    0.129913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408134763365158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59182896} λ = 0.59182896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408134763365158))-π/2
    2×atan(1.50400983293976)-π/2
    2×0.984025238219226-π/2
    1.96805047643845-1.57079632675     		φ = 0.39725415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59182896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.909302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39725415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.760986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38941 KachelY 28511 0.59182896 0.39725415 33.909302 22.760986
    Oben rechts KachelX + 1 38942 KachelY 28511 0.59192484 0.39725415 33.914795 22.760986
    Unten links KachelX 38941 KachelY + 1 28512 0.59182896 0.39716574 33.909302 22.755921
    Unten rechts KachelX + 1 38942 KachelY + 1 28512 0.59192484 0.39716574 33.914795 22.755921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39725415-0.39716574) × R
    8.84099999999832e-05 × 6371000     		dl = 563.260109999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39725415-0.39716574) × R
    8.84099999999832e-05 × 6371000     		dr = 563.260109999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59182896-0.59192484) × cos(0.39725415) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92212680475841 × 6371000     		do = 563.282523434629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59182896-0.59192484) × cos(0.39716574) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.922161005903359 × 6371000     		du = 563.303415254638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39725415)-sin(0.39716574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92212680475841-0.922161005903359)×R²
    abs(0.59192484-0.59182896)×3.42011449490087e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.42011449490087e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.42011449490087e-05×40589641000000     		ar = 317280.460081849m²