Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38940 / 29549
↖ ↑ ↗
← N 17.408304°
E 33.903809°		 ← 582.81 m → N 17.408304°
E 33.909302°		 →
↑
582.82 m
↓
↑
582.82 m
↓
N 17.403063°
E 33.903809°		 ← 582.83 m →
339 679 m²		 N 17.403063°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594184875488281 y=0.450889587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594184875488281 × 216)
    floor (0.594184875488281 × 65536)
    floor (38940.5)     		tx = 38940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450889587402344 × 216)
    floor (0.450889587402344 × 65536)
    floor (29549.5)     		ty = 29549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38940 / 29549 ti = "16/38940/29549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38940/29549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38940 ÷ 216
    38940 ÷ 65536     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29549 ÷ 216
    29549 ÷ 65536     		y = 0.450881958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450881958007812 × 2 - 1) × π
    0.098236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.308617759753922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308617759753922))-π/2
    2×atan(1.36154183493891)-π/2
    2×0.937314279876565-π/2
    1.87462855975313-1.57079632675     		φ = 0.30383223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30383223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.408304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38940 KachelY 29549 0.59173309 0.30383223 33.903809 17.408304
    Oben rechts KachelX + 1 38941 KachelY 29549 0.59182896 0.30383223 33.909302 17.408304
    Unten links KachelX 38940 KachelY + 1 29550 0.59173309 0.30374075 33.903809 17.403063
    Unten rechts KachelX + 1 38941 KachelY + 1 29550 0.59182896 0.30374075 33.909302 17.403063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30383223-0.30374075) × R
    9.14799999999771e-05 × 6371000     		dl = 582.819079999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30383223-0.30374075) × R
    9.14799999999771e-05 × 6371000     		dr = 582.819079999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.30383223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954196975475077 × 6371000     		do = 582.811842791155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.30374075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954224340386178 × 6371000     		du = 582.828556944182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30383223)-sin(0.30374075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954196975475077-0.954224340386178)×R²
    abs(0.59182896-0.59173309)×2.7364911100114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7364911100114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7364911100114e-05×40589641000000     		ar = 339678.732929036m²