Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38940 / 28572
↖ ↑ ↗
← N 22.451649°
E 33.903809°		 ← 564.49 m → N 22.451649°
E 33.909302°		 →
↑
564.47 m
↓
↑
564.47 m
↓
N 22.446572°
E 33.903809°		 ← 564.51 m →
318 645 m²		 N 22.446572°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594184875488281 y=0.435981750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594184875488281 × 216)
    floor (0.594184875488281 × 65536)
    floor (38940.5)     		tx = 38940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435981750488281 × 216)
    floor (0.435981750488281 × 65536)
    floor (28572.5)     		ty = 28572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38940 / 28572 ti = "16/38940/28572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38940/28572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38940 ÷ 216
    38940 ÷ 65536     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28572 ÷ 216
    28572 ÷ 65536     		y = 0.43597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402286461611511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402286461611511))-π/2
    2×atan(1.49523960007746)-π/2
    2×0.98132576058976-π/2
    1.96265152117952-1.57079632675     		φ = 0.39185519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39185519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.451649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38940 KachelY 28572 0.59173309 0.39185519 33.903809 22.451649
    Oben rechts KachelX + 1 38941 KachelY 28572 0.59182896 0.39185519 33.909302 22.451649
    Unten links KachelX 38940 KachelY + 1 28573 0.59173309 0.39176659 33.903809 22.446572
    Unten rechts KachelX + 1 38941 KachelY + 1 28573 0.59182896 0.39176659 33.909302 22.446572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39185519-0.39176659) × R
    8.85999999999942e-05 × 6371000     		dl = 564.470599999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39185519-0.39176659) × R
    8.85999999999942e-05 × 6371000     		dr = 564.470599999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.39185519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924202146872905 × 6371000     		do = 564.491368317702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.39176659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924235979908061 × 6371000     		du = 564.512033121797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39185519)-sin(0.39176659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924202146872905-0.924235979908061)×R²
    abs(0.59182896-0.59173309)×3.38330351552507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38330351552507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38330351552507e-05×40589641000000     		ar = 318644.613914597m²