Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38940 / 28479
↖ ↑ ↗
← N 22.922983°
E 33.903809°		 ← 562.55 m → N 22.922983°
E 33.909302°		 →
↑
562.62 m
↓
↑
562.62 m
↓
N 22.917923°
E 33.903809°		 ← 562.57 m →
316 511 m²		 N 22.917923°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594184875488281 y=0.434562683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594184875488281 × 216)
    floor (0.594184875488281 × 65536)
    floor (38940.5)     		tx = 38940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434562683105469 × 216)
    floor (0.434562683105469 × 65536)
    floor (28479.5)     		ty = 28479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38940 / 28479 ti = "16/38940/28479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38940/28479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38940 ÷ 216
    38940 ÷ 65536     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28479 ÷ 216
    28479 ÷ 65536     		y = 0.434555053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434555053710938 × 2 - 1) × π
    0.130889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.411202724940842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411202724940842))-π/2
    2×atan(1.50863116272296)-π/2
    2×0.985438921979925-π/2
    1.97087784395985-1.57079632675     		φ = 0.40008152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40008152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.922983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38940 KachelY 28479 0.59173309 0.40008152 33.903809 22.922983
    Oben rechts KachelX + 1 38941 KachelY 28479 0.59182896 0.40008152 33.909302 22.922983
    Unten links KachelX 38940 KachelY + 1 28480 0.59173309 0.39999321 33.903809 22.917923
    Unten rechts KachelX + 1 38941 KachelY + 1 28480 0.59182896 0.39999321 33.909302 22.917923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40008152-0.39999321) × R
    8.83100000000359e-05 × 6371000     		dl = 562.623010000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40008152-0.39999321) × R
    8.83100000000359e-05 × 6371000     		dr = 562.623010000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.40008152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921029245559195 × 6371000     		do = 562.553398999871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.39999321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921063638132197 × 6371000     		du = 562.574405562839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40008152)-sin(0.39999321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921029245559195-0.921063638132197)×R²
    abs(0.59182896-0.59173309)×3.43925730019734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43925730019734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43925730019734e-05×40589641000000     		ar = 316511.39622467m²