Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38940 / 28478
↖ ↑ ↗
← N 22.928042°
E 33.903809°		 ← 562.53 m → N 22.928042°
E 33.909302°		 →
↑
562.56 m
↓
↑
562.56 m
↓
N 22.922983°
E 33.903809°		 ← 562.55 m →
316 464 m²		 N 22.922983°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594184875488281 y=0.434547424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594184875488281 × 216)
    floor (0.594184875488281 × 65536)
    floor (38940.5)     		tx = 38940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434547424316406 × 216)
    floor (0.434547424316406 × 65536)
    floor (28478.5)     		ty = 28478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38940 / 28478 ti = "16/38940/28478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38940/28478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38940 ÷ 216
    38940 ÷ 65536     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28478 ÷ 216
    28478 ÷ 65536     		y = 0.434539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434539794921875 × 2 - 1) × π
    0.13092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.411298598740082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411298598740082))-π/2
    2×atan(1.50877580785791)-π/2
    2×0.985483072442069-π/2
    1.97096614488414-1.57079632675     		φ = 0.40016982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40016982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.928042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38940 KachelY 28478 0.59173309 0.40016982 33.903809 22.928042
    Oben rechts KachelX + 1 38941 KachelY 28478 0.59182896 0.40016982 33.909302 22.928042
    Unten links KachelX 38940 KachelY + 1 28479 0.59173309 0.40008152 33.903809 22.922983
    Unten rechts KachelX + 1 38941 KachelY + 1 28479 0.59182896 0.40008152 33.909302 22.922983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40016982-0.40008152) × R
    8.82999999999856e-05 × 6371000     		dl = 562.559299999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40016982-0.40008152) × R
    8.82999999999856e-05 × 6371000     		dr = 562.559299999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.40016982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92099484969915 × 6371000     		do = 562.532390429217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59182896) × cos(0.40008152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921029245559195 × 6371000     		du = 562.553398999871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40016982)-sin(0.40008152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92099484969915-0.921029245559195)×R²
    abs(0.59182896-0.59173309)×3.43958600448335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43958600448335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43958600448335e-05×40589641000000     		ar = 316463.737276082m²