Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3894 / 844
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E162.246094°		 ← 3 008.05 m → N 72.073911°
E162.333985°		 →
↑
3 010.23 m
↓
↑
3 010.23 m
↓
N 72.046840°
E162.246094°		 ← 3 012.44 m →
9 061 534 m²		 N 72.046840°
E162.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9508056640625 y=0.2061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9508056640625 × 212)
    floor (0.9508056640625 × 4096)
    floor (3894.5)     		tx = 3894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2061767578125 × 212)
    floor (0.2061767578125 × 4096)
    floor (844.5)     		ty = 844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3894 / 844 ti = "12/3894/844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3894/844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3894 ÷ 212
    3894 ÷ 4096     		x = 0.95068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 844 ÷ 212
    844 ÷ 4096     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95068359375 × 2 - 1) × π
    0.9013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.83172853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83172853} λ = 2.83172853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83172853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3894 KachelY 844 2.83172853 1.25792706 162.246094 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 3895 KachelY 844 2.83326252 1.25792706 162.333985 72.073911
    Unten links KachelX 3894 KachelY + 1 845 2.83172853 1.25745457 162.246094 72.046840
    Unten rechts KachelX + 1 3895 KachelY + 1 845 2.83326252 1.25745457 162.333985 72.046840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25745457) × R
    0.000472490000000159 × 6371000     		dl = 3010.23379000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25745457) × R
    0.000472490000000159 × 6371000     		dr = 3010.23379000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83172853-2.83326252) × cos(1.25792706) × R
    0.00153398999999999 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 3008.04593746623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83172853-2.83326252) × cos(1.25745457) × R
    0.00153398999999999 × 0.3082393943534 × 6371000     		du = 3012.43910237489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25745457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.3082393943534)×R²
    abs(2.83326252-2.83172853)×0.000449518295548013×R²
    0.00153398999999999×0.000449518295548013×6371000²
    0.00153398999999999×0.000449518295548013×40589641000000     		ar = 9061533.91814477m²