Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3894 / 4750
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
W  8.876953°		 ← 4 330.20 m → S 27.605671°
W  8.833008°		 →
↑
4 329.41 m
↓
↑
4 329.41 m
↓
S 27.644606°
W  8.876953°		 ← 4 328.66 m →
18 743 908 m²		 S 27.644606°
W  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47540283203125 y=0.57989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47540283203125 × 213)
    floor (0.47540283203125 × 8192)
    floor (3894.5)     		tx = 3894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57989501953125 × 213)
    floor (0.57989501953125 × 8192)
    floor (4750.5)     		ty = 4750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3894 / 4750 ti = "13/3894/4750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3894/4750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3894 ÷ 213
    3894 ÷ 8192     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4750 ÷ 213
    4750 ÷ 8192     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3894 KachelY 4750 -0.15493206 -0.48180985 -8.876953 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 3895 KachelY 4750 -0.15416507 -0.48180985 -8.833008 -27.605671
    Unten links KachelX 3894 KachelY + 1 4751 -0.15493206 -0.48248940 -8.876953 -27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 3895 KachelY + 1 4751 -0.15416507 -0.48248940 -8.833008 -27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48248940) × R
    0.000679550000000029 × 6371000     		dl = 4329.41305000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48248940) × R
    0.000679550000000029 × 6371000     		dr = 4329.41305000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15416507) × cos(-0.48180985) × R
    0.000766990000000023 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 4330.20375018858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15416507) × cos(-0.48248940) × R
    0.000766990000000023 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 4328.66403076825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.15416507--0.15493206)×0.000315097009032317×R²
    0.000766990000000023×0.000315097009032317×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315097009032317×40589641000000     		ar = 18743908.3058603m²