Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3894 / 2135
↖ ↑ ↗
← N 64.942160°
W  8.876953°		 ← 2 069.59 m → N 64.942160°
W  8.833008°		 →
↑
2 070.26 m
↓
↑
2 070.26 m
↓
N 64.923542°
W  8.876953°		 ← 2 071.03 m →
4 286 073 m²		 N 64.923542°
W  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47540283203125 y=0.26068115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47540283203125 × 213)
    floor (0.47540283203125 × 8192)
    floor (3894.5)     		tx = 3894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26068115234375 × 213)
    floor (0.26068115234375 × 8192)
    floor (2135.5)     		ty = 2135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3894 / 2135 ti = "13/3894/2135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3894/2135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3894 ÷ 213
    3894 ÷ 8192     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2135 ÷ 213
    2135 ÷ 8192     		y = 0.2606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2606201171875 × 2 - 1) × π
    0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50406816247888))-π/2
    2×atan(4.4999584458536)-π/2
    2×1.3521254254145-π/2
    2.70425085082901-1.57079632675     		φ = 1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3894 KachelY 2135 -0.15493206 1.13345452 -8.876953 64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 3895 KachelY 2135 -0.15416507 1.13345452 -8.833008 64.942160
    Unten links KachelX 3894 KachelY + 1 2136 -0.15493206 1.13312957 -8.876953 64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 3895 KachelY + 1 2136 -0.15416507 1.13312957 -8.833008 64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13345452-1.13312957) × R
    0.000324949999999991 × 6371000     		dl = 2070.25644999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13345452-1.13312957) × R
    0.000324949999999991 × 6371000     		dr = 2070.25644999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15416507) × cos(1.13345452) × R
    0.000766990000000023 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 2069.59095899036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15416507) × cos(1.13312957) × R
    0.000766990000000023 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 2071.02926684882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13345452)-sin(1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423827301899101)×R²
    abs(-0.15416507--0.15493206)×0.000294343565641453×R²
    0.000766990000000023×0.000294343565641453×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294343565641453×40589641000000     		ar = 4286072.9024883m²