Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38938 / 29090
↖ ↑ ↗
← N 19.797717°
E 33.892822°		 ← 574.75 m → N 19.797717°
E 33.898316°		 →
↑
574.66 m
↓
↑
574.66 m
↓
N 19.792549°
E 33.892822°		 ← 574.77 m →
330 292 m²		 N 19.792549°
E 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594154357910156 y=0.443885803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594154357910156 × 216)
    floor (0.594154357910156 × 65536)
    floor (38938.5)     		tx = 38938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443885803222656 × 216)
    floor (0.443885803222656 × 65536)
    floor (29090.5)     		ty = 29090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38938 / 29090 ti = "16/38938/29090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38938/29090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38938 ÷ 216
    38938 ÷ 65536     		x = 0.594146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29090 ÷ 216
    29090 ÷ 65536     		y = 0.443878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594146728515625 × 2 - 1) × π
    0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    0.11224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.352623833605133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59154134} λ = 0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352623833605133))-π/2
    2×atan(1.42279583477755)-π/2
    2×0.958165840688941-π/2
    1.91633168137788-1.57079632675     		φ = 0.34553535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34553535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.797717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38938 KachelY 29090 0.59154134 0.34553535 33.892822 19.797717
    Oben rechts KachelX + 1 38939 KachelY 29090 0.59163722 0.34553535 33.898316 19.797717
    Unten links KachelX 38938 KachelY + 1 29091 0.59154134 0.34544515 33.892822 19.792549
    Unten rechts KachelX + 1 38939 KachelY + 1 29091 0.59163722 0.34544515 33.898316 19.792549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34553535-0.34544515) × R
    9.02000000000402e-05 × 6371000     		dl = 574.664200000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34553535-0.34544515) × R
    9.02000000000402e-05 × 6371000     		dr = 574.664200000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.34553535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940894264168065 × 6371000     		do = 574.746653790197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.34544515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940924811119549 × 6371000     		du = 574.76531344072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34553535)-sin(0.34544515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940894264168065-0.940924811119549)×R²
    abs(0.59163722-0.59154134)×3.05469514839674e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05469514839674e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05469514839674e-05×40589641000000     		ar = 330291.687743745m²