Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38938 / 28750
↖ ↑ ↗
← N 21.545066°
E 33.892822°		 ← 568.17 m → N 21.545066°
E 33.898316°		 →
↑
568.17 m
↓
↑
568.17 m
↓
N 21.539956°
E 33.892822°		 ← 568.19 m →
322 821 m²		 N 21.539956°
E 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594154357910156 y=0.438697814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594154357910156 × 216)
    floor (0.594154357910156 × 65536)
    floor (38938.5)     		tx = 38938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438697814941406 × 216)
    floor (0.438697814941406 × 65536)
    floor (28750.5)     		ty = 28750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38938 / 28750 ti = "16/38938/28750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38938/28750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38938 ÷ 216
    38938 ÷ 65536     		x = 0.594146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28750 ÷ 216
    28750 ÷ 65536     		y = 0.438690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594146728515625 × 2 - 1) × π
    0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438690185546875 × 2 - 1) × π
    0.12261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385220925346771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59154134} λ = 0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385220925346771))-π/2
    2×atan(1.46993903236184)-π/2
    2×0.973414333582899-π/2
    1.9468286671658-1.57079632675     		φ = 0.37603234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37603234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.545066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38938 KachelY 28750 0.59154134 0.37603234 33.892822 21.545066
    Oben rechts KachelX + 1 38939 KachelY 28750 0.59163722 0.37603234 33.898316 21.545066
    Unten links KachelX 38938 KachelY + 1 28751 0.59154134 0.37594316 33.892822 21.539956
    Unten rechts KachelX + 1 38939 KachelY + 1 28751 0.59163722 0.37594316 33.898316 21.539956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37603234-0.37594316) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dl = 568.16578000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37603234-0.37594316) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dr = 568.16578000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.37603234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930129008363818 × 6371000     		do = 568.170681349598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.37594316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930161754498136 × 6371000     		du = 568.19068437421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37603234)-sin(0.37594316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930129008363818-0.930161754498136)×R²
    abs(0.59163722-0.59154134)×3.2746134317363e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2746134317363e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2746134317363e-05×40589641000000     		ar = 322820.821073274m²