Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38938 / 28586
↖ ↑ ↗
← N 22.380555°
E 33.892822°		 ← 564.84 m → N 22.380555°
E 33.898316°		 →
↑
564.79 m
↓
↑
564.79 m
↓
N 22.375476°
E 33.892822°		 ← 564.86 m →
319 021 m²		 N 22.375476°
E 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594154357910156 y=0.436195373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594154357910156 × 216)
    floor (0.594154357910156 × 65536)
    floor (38938.5)     		tx = 38938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436195373535156 × 216)
    floor (0.436195373535156 × 65536)
    floor (28586.5)     		ty = 28586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38938 / 28586 ti = "16/38938/28586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38938/28586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38938 ÷ 216
    38938 ÷ 65536     		x = 0.594146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28586 ÷ 216
    28586 ÷ 65536     		y = 0.436187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594146728515625 × 2 - 1) × π
    0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    0.12762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40094422842215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59154134} λ = 0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40094422842215))-π/2
    2×atan(1.49323398616208)-π/2
    2×0.980705354354718-π/2
    1.96141070870944-1.57079632675     		φ = 0.39061438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39061438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.380555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38938 KachelY 28586 0.59154134 0.39061438 33.892822 22.380555
    Oben rechts KachelX + 1 38939 KachelY 28586 0.59163722 0.39061438 33.898316 22.380555
    Unten links KachelX 38938 KachelY + 1 28587 0.59154134 0.39052573 33.892822 22.375476
    Unten rechts KachelX + 1 38939 KachelY + 1 28587 0.59163722 0.39052573 33.898316 22.375476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39061438-0.39052573) × R
    8.86499999999679e-05 × 6371000     		dl = 564.789149999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39061438-0.39052573) × R
    8.86499999999679e-05 × 6371000     		dr = 564.789149999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.39061438) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.924675305154155 × 6371000     		do = 564.839278672497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59154134-0.59163722) × cos(0.39052573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.924709055592293 × 6371000     		du = 564.859895177584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39061438)-sin(0.39052573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924675305154155-0.924709055592293)×R²
    abs(0.59163722-0.59154134)×3.37504381376919e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37504381376919e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37504381376919e-05×40589641000000     		ar = 319020.918286007m²