Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38937 / 28741
↖ ↑ ↗
← N 21.591043°
E 33.887329°		 ← 567.93 m → N 21.591043°
E 33.892822°		 →
↑
567.97 m
↓
↑
567.97 m
↓
N 21.585935°
E 33.887329°		 ← 567.95 m →
322 576 m²		 N 21.585935°
E 33.892822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594139099121094 y=0.438560485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594139099121094 × 216)
    floor (0.594139099121094 × 65536)
    floor (38937.5)     		tx = 38937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438560485839844 × 216)
    floor (0.438560485839844 × 65536)
    floor (28741.5)     		ty = 28741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38937 / 28741 ti = "16/38937/28741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38937/28741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38937 ÷ 216
    38937 ÷ 65536     		x = 0.594131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28741 ÷ 216
    28741 ÷ 65536     		y = 0.438552856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594131469726562 × 2 - 1) × π
    0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438552856445312 × 2 - 1) × π
    0.122894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.386083789539932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59144547} λ = 0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386083789539932))-π/2
    2×atan(1.47120793748667)-π/2
    2×0.973815557476243-π/2
    1.94763111495249-1.57079632675     		φ = 0.37683479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37683479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.591043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38937 KachelY 28741 0.59144547 0.37683479 33.887329 21.591043
    Oben rechts KachelX + 1 38938 KachelY 28741 0.59154134 0.37683479 33.892822 21.591043
    Unten links KachelX 38937 KachelY + 1 28742 0.59144547 0.37674564 33.887329 21.585935
    Unten rechts KachelX + 1 38938 KachelY + 1 28742 0.59154134 0.37674564 33.892822 21.585935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37683479-0.37674564) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dl = 567.974649999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37683479-0.37674564) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dr = 567.974649999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59144547-0.59154134) × cos(0.37683479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92983402286046 × 6371000     		do = 567.931249293057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59144547-0.59154134) × cos(0.37674564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929866824510859 × 6371000     		du = 567.951284139957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37683479)-sin(0.37674564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92983402286046-0.929866824510859)×R²
    abs(0.59154134-0.59144547)×3.28016503989836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28016503989836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28016503989836e-05×40589641000000     		ar = 322576.242397487m²