Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38937 / 28485
↖ ↑ ↗
← N 22.892623°
E 33.887329°		 ← 562.68 m → N 22.892623°
E 33.892822°		 →
↑
562.69 m
↓
↑
562.69 m
↓
N 22.887562°
E 33.887329°		 ← 562.70 m →
316 618 m²		 N 22.887562°
E 33.892822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594139099121094 y=0.434654235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594139099121094 × 216)
    floor (0.594139099121094 × 65536)
    floor (38937.5)     		tx = 38937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434654235839844 × 216)
    floor (0.434654235839844 × 65536)
    floor (28485.5)     		ty = 28485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38937 / 28485 ti = "16/38937/28485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38937/28485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38937 ÷ 216
    38937 ÷ 65536     		x = 0.594131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28485 ÷ 216
    28485 ÷ 65536     		y = 0.434646606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594131469726562 × 2 - 1) × π
    0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434646606445312 × 2 - 1) × π
    0.130706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410627482145401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59144547} λ = 0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410627482145401))-π/2
    2×atan(1.50776358307402)-π/2
    2×0.985173984594116-π/2
    1.97034796918823-1.57079632675     		φ = 0.39955164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39955164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.892623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38937 KachelY 28485 0.59144547 0.39955164 33.887329 22.892623
    Oben rechts KachelX + 1 38938 KachelY 28485 0.59154134 0.39955164 33.892822 22.892623
    Unten links KachelX 38937 KachelY + 1 28486 0.59144547 0.39946332 33.887329 22.887562
    Unten rechts KachelX + 1 38938 KachelY + 1 28486 0.59154134 0.39946332 33.892822 22.887562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39955164-0.39946332) × R
    8.83199999999751e-05 × 6371000     		dl = 562.686719999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39955164-0.39946332) × R
    8.83199999999751e-05 × 6371000     		dr = 562.686719999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59144547-0.59154134) × cos(0.39955164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921235501026073 × 6371000     		do = 562.679377316535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59144547-0.59154134) × cos(0.39946332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921269854384315 × 6371000     		du = 562.700359927608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39955164)-sin(0.39946332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921235501026073-0.921269854384315)×R²
    abs(0.59154134-0.59144547)×3.43533582419786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43533582419786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43533582419786e-05×40589641000000     		ar = 316618.11675781m²