Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38936 / 28712
↖ ↑ ↗
← N 21.739091°
E 33.881836°		 ← 567.41 m → N 21.739091°
E 33.887329°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
N 21.733989°
E 33.881836°		 ← 567.43 m →
321 954 m²		 N 21.733989°
E 33.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594123840332031 y=0.438117980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594123840332031 × 216)
    floor (0.594123840332031 × 65536)
    floor (38936.5)     		tx = 38936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438117980957031 × 216)
    floor (0.438117980957031 × 65536)
    floor (28712.5)     		ty = 28712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38936 / 28712 ti = "16/38936/28712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38936/28712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38936 ÷ 216
    38936 ÷ 65536     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28712 ÷ 216
    28712 ÷ 65536     		y = 0.4381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    0.123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388864129717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388864129717896))-π/2
    2×atan(1.47530408773225)-π/2
    2×0.975107522462573-π/2
    1.95021504492515-1.57079632675     		φ = 0.37941872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37941872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.739091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38936 KachelY 28712 0.59134959 0.37941872 33.881836 21.739091
    Oben rechts KachelX + 1 38937 KachelY 28712 0.59144547 0.37941872 33.887329 21.739091
    Unten links KachelX 38936 KachelY + 1 28713 0.59134959 0.37932966 33.881836 21.733989
    Unten rechts KachelX + 1 38937 KachelY + 1 28713 0.59144547 0.37932966 33.887329 21.733989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37941872-0.37932966) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dl = 567.401259999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37941872-0.37932966) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dr = 567.401259999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59144547) × cos(0.37941872) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92888008732324 × 6371000     		do = 567.407776084215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59144547) × cos(0.37932966) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928913069734982 × 6371000     		du = 567.427923439242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37941872)-sin(0.37932966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92888008732324-0.928913069734982)×R²
    abs(0.59144547-0.59134959)×3.29824117417665e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.29824117417665e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.29824117417665e-05×40589641000000     		ar = 321953.603114033m²