Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38935 / 28713
↖ ↑ ↗
← N 21.733989°
E 33.876343°		 ← 567.37 m → N 21.733989°
E 33.881836°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
N 21.728886°
E 33.876343°		 ← 567.39 m →
321 931 m²		 N 21.728886°
E 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594108581542969 y=0.438133239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594108581542969 × 216)
    floor (0.594108581542969 × 65536)
    floor (38935.5)     		tx = 38935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438133239746094 × 216)
    floor (0.438133239746094 × 65536)
    floor (28713.5)     		ty = 28713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38935 / 28713 ti = "16/38935/28713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38935/28713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38935 ÷ 216
    38935 ÷ 65536     		x = 0.594100952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28713 ÷ 216
    28713 ÷ 65536     		y = 0.438125610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594100952148438 × 2 - 1) × π
    0.188201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59125372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438125610351562 × 2 - 1) × π
    0.123748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388768255918655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59125372} λ = 0.59125372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388768255918655))-π/2
    2×atan(1.47516265150445)-π/2
    2×0.9750629940405-π/2
    1.950125988081-1.57079632675     		φ = 0.37932966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59125372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.876343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37932966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.733989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38935 KachelY 28713 0.59125372 0.37932966 33.876343 21.733989
    Oben rechts KachelX + 1 38936 KachelY 28713 0.59134959 0.37932966 33.881836 21.733989
    Unten links KachelX 38935 KachelY + 1 28714 0.59125372 0.37924060 33.876343 21.728886
    Unten rechts KachelX + 1 38936 KachelY + 1 28714 0.59134959 0.37924060 33.881836 21.728886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37932966-0.37924060) × R
    8.90600000000297e-05 × 6371000     		dl = 567.401260000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37932966-0.37924060) × R
    8.90600000000297e-05 × 6371000     		dr = 567.401260000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59125372-0.59134959) × cos(0.37932966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928913069734982 × 6371000     		do = 567.368742387272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59125372-0.59134959) × cos(0.37924060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928946044778879 × 6371000     		du = 567.388883140799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37932966)-sin(0.37924060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928913069734982-0.928946044778879)×R²
    abs(0.59134959-0.59125372)×3.29750438973209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29750438973209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29750438973209e-05×40589641000000     		ar = 321931.453472626m²