Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38935 / 28510
↖ ↑ ↗
← N 22.766052°
E 33.876343°		 ← 563.20 m → N 22.766052°
E 33.881836°		 →
↑
563.26 m
↓
↑
563.26 m
↓
N 22.760986°
E 33.876343°		 ← 563.22 m →
317 236 m²		 N 22.760986°
E 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594108581542969 y=0.435035705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594108581542969 × 216)
    floor (0.594108581542969 × 65536)
    floor (38935.5)     		tx = 38935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435035705566406 × 216)
    floor (0.435035705566406 × 65536)
    floor (28510.5)     		ty = 28510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38935 / 28510 ti = "16/38935/28510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38935/28510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38935 ÷ 216
    38935 ÷ 65536     		x = 0.594100952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28510 ÷ 216
    28510 ÷ 65536     		y = 0.435028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594100952148438 × 2 - 1) × π
    0.188201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59125372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    0.12994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.408230637164398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59125372} λ = 0.59125372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408230637164398))-π/2
    2×atan(1.50415403498903)-π/2
    2×0.984069441299447-π/2
    1.96813888259889-1.57079632675     		φ = 0.39734256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59125372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.876343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39734256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.766052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38935 KachelY 28510 0.59125372 0.39734256 33.876343 22.766052
    Oben rechts KachelX + 1 38936 KachelY 28510 0.59134959 0.39734256 33.881836 22.766052
    Unten links KachelX 38935 KachelY + 1 28511 0.59125372 0.39725415 33.876343 22.760986
    Unten rechts KachelX + 1 38936 KachelY + 1 28511 0.59134959 0.39725415 33.881836 22.760986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39734256-0.39725415) × R
    8.84100000000387e-05 × 6371000     		dl = 563.260110000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39734256-0.39725415) × R
    8.84100000000387e-05 × 6371000     		dr = 563.260110000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59125372-0.59134959) × cos(0.39734256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.922092596405815 × 6371000     		do = 563.202880692206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59125372-0.59134959) × cos(0.39725415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92212680475841 × 6371000     		du = 563.223774735602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39734256)-sin(0.39725415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922092596405815-0.92212680475841)×R²
    abs(0.59134959-0.59125372)×3.42083525946002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42083525946002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42083525946002e-05×40589641000000     		ar = 317235.60112853m²