Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38933 / 29563
↖ ↑ ↗
← N 17.334908°
E 33.865356°		 ← 583.11 m → N 17.334908°
E 33.870850°		 →
↑
583.07 m
↓
↑
583.07 m
↓
N 17.329664°
E 33.865356°		 ← 583.12 m →
339 999 m²		 N 17.329664°
E 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594078063964844 y=0.451103210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594078063964844 × 216)
    floor (0.594078063964844 × 65536)
    floor (38933.5)     		tx = 38933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451103210449219 × 216)
    floor (0.451103210449219 × 65536)
    floor (29563.5)     		ty = 29563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38933 / 29563 ti = "16/38933/29563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38933/29563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38933 ÷ 216
    38933 ÷ 65536     		x = 0.594070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29563 ÷ 216
    29563 ÷ 65536     		y = 0.451095581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594070434570312 × 2 - 1) × π
    0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451095581054688 × 2 - 1) × π
    0.097808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.30727552656456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59106197} λ = 0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30727552656456))-π/2
    2×atan(1.35971555422083)-π/2
    2×0.936673774032693-π/2
    1.87334754806539-1.57079632675     		φ = 0.30255122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30255122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.334908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38933 KachelY 29563 0.59106197 0.30255122 33.865356 17.334908
    Oben rechts KachelX + 1 38934 KachelY 29563 0.59115785 0.30255122 33.870850 17.334908
    Unten links KachelX 38933 KachelY + 1 29564 0.59106197 0.30245970 33.865356 17.329664
    Unten rechts KachelX + 1 38934 KachelY + 1 29564 0.59115785 0.30245970 33.870850 17.329664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30255122-0.30245970) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dl = 583.073920000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30255122-0.30245970) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dr = 583.073920000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59106197-0.59115785) × cos(0.30255122) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954579443872992 × 6371000     		do = 583.106266067012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59106197-0.59115785) × cos(0.30245970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954606708855548 × 6371000     		du = 583.122920921958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30255122)-sin(0.30245970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954579443872992-0.954606708855548)×R²
    abs(0.59115785-0.59106197)×2.72649825562299e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.72649825562299e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.72649825562299e-05×40589641000000     		ar = 339998.912075346m²