Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38933 / 28571
↖ ↑ ↗
← N 22.456726°
E 33.865356°		 ← 564.53 m → N 22.456726°
E 33.870850°		 →
↑
564.53 m
↓
↑
564.53 m
↓
N 22.451649°
E 33.865356°		 ← 564.55 m →
318 702 m²		 N 22.451649°
E 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594078063964844 y=0.435966491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594078063964844 × 216)
    floor (0.594078063964844 × 65536)
    floor (38933.5)     		tx = 38933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435966491699219 × 216)
    floor (0.435966491699219 × 65536)
    floor (28571.5)     		ty = 28571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38933 / 28571 ti = "16/38933/28571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38933/28571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38933 ÷ 216
    38933 ÷ 65536     		x = 0.594070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28571 ÷ 216
    28571 ÷ 65536     		y = 0.435958862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594070434570312 × 2 - 1) × π
    0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435958862304688 × 2 - 1) × π
    0.128082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.402382335410751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59106197} λ = 0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402382335410751))-π/2
    2×atan(1.49538296125088)-π/2
    2×0.9813700631641-π/2
    1.9627401263282-1.57079632675     		φ = 0.39194380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39194380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.456726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38933 KachelY 28571 0.59106197 0.39194380 33.865356 22.456726
    Oben rechts KachelX + 1 38934 KachelY 28571 0.59115785 0.39194380 33.870850 22.456726
    Unten links KachelX 38933 KachelY + 1 28572 0.59106197 0.39185519 33.865356 22.451649
    Unten rechts KachelX + 1 38934 KachelY + 1 28572 0.59115785 0.39185519 33.870850 22.451649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39194380-0.39185519) × R
    8.8609999999989e-05 × 6371000     		dl = 564.53430999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39194380-0.39185519) × R
    8.8609999999989e-05 × 6371000     		dr = 564.53430999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59106197-0.59115785) × cos(0.39194380) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.924168302762945 × 6371000     		do = 564.529575511463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59106197-0.59115785) × cos(0.39185519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.924202146872905 × 6371000     		du = 564.550249236121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39194380)-sin(0.39185519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924168302762945-0.924202146872905)×R²
    abs(0.59115785-0.59106197)×3.38441099605458e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38441099605458e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38441099605458e-05×40589641000000     		ar = 318702.150107998m²