Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38932 / 28730
↖ ↑ ↗
← N 21.647217°
E 33.859863°		 ← 567.71 m → N 21.647217°
E 33.865356°		 →
↑
567.72 m
↓
↑
567.72 m
↓
N 21.642111°
E 33.859863°		 ← 567.73 m →
322 306 m²		 N 21.642111°
E 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594062805175781 y=0.438392639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594062805175781 × 216)
    floor (0.594062805175781 × 65536)
    floor (38932.5)     		tx = 38932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438392639160156 × 216)
    floor (0.438392639160156 × 65536)
    floor (28730.5)     		ty = 28730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38932 / 28730 ti = "16/38932/28730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38932/28730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38932 ÷ 216
    38932 ÷ 65536     		x = 0.59405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28730 ÷ 216
    28730 ÷ 65536     		y = 0.438385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59405517578125 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59096610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    0.12322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.387138401331574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59096610} λ = 0.59096610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387138401331574))-π/2
    2×atan(1.47276030915635)-π/2
    2×0.974305769234767-π/2
    1.94861153846953-1.57079632675     		φ = 0.37781521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59096610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.859863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37781521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.647217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38932 KachelY 28730 0.59096610 0.37781521 33.859863 21.647217
    Oben rechts KachelX + 1 38933 KachelY 28730 0.59106197 0.37781521 33.865356 21.647217
    Unten links KachelX 38932 KachelY + 1 28731 0.59096610 0.37772610 33.859863 21.642111
    Unten rechts KachelX + 1 38933 KachelY + 1 28731 0.59106197 0.37772610 33.865356 21.642111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37781521-0.37772610) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dl = 567.719810000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37781521-0.37772610) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dr = 567.719810000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59096610-0.59106197) × cos(0.37781521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		do = 567.710619926272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59096610-0.59106197) × cos(0.37772610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929505670019564 × 6371000     		du = 567.730695393593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37781521)-sin(0.37772610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929472801864197-0.929505670019564)×R²
    abs(0.59106197-0.59096610)×3.28681553674048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28681553674048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28681553674048e-05×40589641000000     		ar = 322306.264113198m²