Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38930 / 29554
↖ ↑ ↗
← N 17.382095°
E 33.848877°		 ← 582.90 m → N 17.382095°
E 33.854370°		 →
↑
582.95 m
↓
↑
582.95 m
↓
N 17.376853°
E 33.848877°		 ← 582.91 m →
339 802 m²		 N 17.376853°
E 33.854370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594032287597656 y=0.450965881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594032287597656 × 216)
    floor (0.594032287597656 × 65536)
    floor (38930.5)     		tx = 38930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450965881347656 × 216)
    floor (0.450965881347656 × 65536)
    floor (29554.5)     		ty = 29554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38930 / 29554 ti = "16/38930/29554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38930/29554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38930 ÷ 216
    38930 ÷ 65536     		x = 0.594024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29554 ÷ 216
    29554 ÷ 65536     		y = 0.450958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594024658203125 × 2 - 1) × π
    0.18804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59077435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    0.09808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.308138390757721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59077435} λ = 0.59077435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308138390757721))-π/2
    2×atan(1.36088931040872)-π/2
    2×0.937085557260613-π/2
    1.87417111452123-1.57079632675     		φ = 0.30337479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59077435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.848877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30337479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.382095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38930 KachelY 29554 0.59077435 0.30337479 33.848877 17.382095
    Oben rechts KachelX + 1 38931 KachelY 29554 0.59087022 0.30337479 33.854370 17.382095
    Unten links KachelX 38930 KachelY + 1 29555 0.59077435 0.30328329 33.848877 17.376853
    Unten rechts KachelX + 1 38931 KachelY + 1 29555 0.59087022 0.30328329 33.854370 17.376853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30337479-0.30328329) × R
    9.15000000000221e-05 × 6371000     		dl = 582.946500000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30337479-0.30328329) × R
    9.15000000000221e-05 × 6371000     		dr = 582.946500000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59077435-0.59087022) × cos(0.30337479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954333732122867 × 6371000     		do = 582.89537207909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59077435-0.59087022) × cos(0.30328329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954361063073728 × 6371000     		du = 582.912065489619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30337479)-sin(0.30328329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954333732122867-0.954361063073728)×R²
    abs(0.59087022-0.59077435)×2.73309508613817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73309508613817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73309508613817e-05×40589641000000     		ar = 339801.682939444m²