Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3893 / 4755
↖ ↑ ↗
← S 27.800210°
W  8.920898°		 ← 4 322.49 m → S 27.800210°
W  8.876953°		 →
↑
4 321.70 m
↓
↑
4 321.70 m
↓
S 27.839076°
W  8.920898°		 ← 4 320.94 m →
18 677 184 m²		 S 27.839076°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47528076171875 y=0.58050537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47528076171875 × 213)
    floor (0.47528076171875 × 8192)
    floor (3893.5)     		tx = 3893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58050537109375 × 213)
    floor (0.58050537109375 × 8192)
    floor (4755.5)     		ty = 4755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3893 / 4755 ti = "13/3893/4755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3893/4755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3893 ÷ 213
    3893 ÷ 8192     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4755 ÷ 213
    4755 ÷ 8192     		y = 0.5804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505446669593872))-π/2
    2×atan(0.603236068031625)-π/2
    2×0.54279556532704-π/2
    1.08559113065408-1.57079632675     		φ = -0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3893 KachelY 4755 -0.15569905 -0.48520520 -8.920898 -27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 3894 KachelY 4755 -0.15493206 -0.48520520 -8.876953 -27.800210
    Unten links KachelX 3893 KachelY + 1 4756 -0.15569905 -0.48588354 -8.920898 -27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 3894 KachelY + 1 4756 -0.15493206 -0.48588354 -8.876953 -27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48520520--0.48588354) × R
    0.000678339999999999 × 6371000     		dl = 4321.70414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48520520--0.48588354) × R
    0.000678339999999999 × 6371000     		dr = 4321.70414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15493206) × cos(-0.48520520) × R
    0.000766989999999995 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 4322.49064059074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15493206) × cos(-0.48588354) × R
    0.000766989999999995 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 4320.9437018717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48520520)-sin(-0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.15493206--0.15569905)×0.000316574407705605×R²
    0.000766989999999995×0.000316574407705605×6371000²
    0.000766989999999995×0.000316574407705605×40589641000000     		ar = 18677183.7070028m²