Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3893 / 1618
↖ ↑ ↗
← N 72.996909°
W  8.920898°		 ← 1 428.92 m → N 72.996909°
W  8.876953°		 →
↑
1 429.46 m
↓
↑
1 429.46 m
↓
N 72.984054°
W  8.920898°		 ← 1 429.97 m →
2 043 342 m²		 N 72.984054°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47528076171875 y=0.19757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47528076171875 × 213)
    floor (0.47528076171875 × 8192)
    floor (3893.5)     		tx = 3893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19757080078125 × 213)
    floor (0.19757080078125 × 8192)
    floor (1618.5)     		ty = 1618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3893 / 1618 ti = "13/3893/1618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3893/1618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3893 ÷ 213
    3893 ÷ 8192     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1618 ÷ 213
    1618 ÷ 8192     		y = 0.197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197509765625 × 2 - 1) × π
    0.60498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90060219613599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90060219613599))-π/2
    2×atan(6.68992187460841)-π/2
    2×1.42241636759649-π/2
    2.84483273519299-1.57079632675     		φ = 1.27403641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27403641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.996909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3893 KachelY 1618 -0.15569905 1.27403641 -8.920898 72.996909
    Oben rechts KachelX + 1 3894 KachelY 1618 -0.15493206 1.27403641 -8.876953 72.996909
    Unten links KachelX 3893 KachelY + 1 1619 -0.15569905 1.27381204 -8.920898 72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 3894 KachelY + 1 1619 -0.15493206 1.27381204 -8.876953 72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27403641-1.27381204) × R
    0.000224369999999974 × 6371000     		dl = 1429.46126999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27403641-1.27381204) × R
    0.000224369999999974 × 6371000     		dr = 1429.46126999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15493206) × cos(1.27403641) × R
    0.000766989999999995 × 0.292423291158863 × 6371000     		do = 1428.92445008749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15493206) × cos(1.27381204) × R
    0.000766989999999995 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 1429.97287261659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27403641)-sin(1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292423291158863-0.292637846355581)×R²
    abs(-0.15493206--0.15569905)×0.000214555196718147×R²
    0.000766989999999995×0.000214555196718147×6371000²
    0.000766989999999995×0.000214555196718147×40589641000000     		ar = 2043341.5074274m²