Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38927 / 28729
↖ ↑ ↗
← N 21.652323°
E 33.832397°		 ← 567.69 m → N 21.652323°
E 33.837890°		 →
↑
567.72 m
↓
↑
567.72 m
↓
N 21.647217°
E 33.832397°		 ← 567.71 m →
322 295 m²		 N 21.647217°
E 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593986511230469 y=0.438377380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593986511230469 × 216)
    floor (0.593986511230469 × 65536)
    floor (38927.5)     		tx = 38927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438377380371094 × 216)
    floor (0.438377380371094 × 65536)
    floor (28729.5)     		ty = 28729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38927 / 28729 ti = "16/38927/28729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38927/28729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38927 ÷ 216
    38927 ÷ 65536     		x = 0.593978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28729 ÷ 216
    28729 ÷ 65536     		y = 0.438369750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593978881835938 × 2 - 1) × π
    0.187957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59048673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438369750976562 × 2 - 1) × π
    0.123260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.387234275130814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59048673} λ = 0.59048673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387234275130814))-π/2
    2×atan(1.47290151505143)-π/2
    2×0.974350324491185-π/2
    1.94870064898237-1.57079632675     		φ = 0.37790432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59048673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.832397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37790432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.652323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38927 KachelY 28729 0.59048673 0.37790432 33.832397 21.652323
    Oben rechts KachelX + 1 38928 KachelY 28729 0.59058260 0.37790432 33.837890 21.652323
    Unten links KachelX 38927 KachelY + 1 28730 0.59048673 0.37781521 33.832397 21.647217
    Unten rechts KachelX + 1 38928 KachelY + 1 28730 0.59058260 0.37781521 33.837890 21.647217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37790432-0.37781521) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dl = 567.719810000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37790432-0.37781521) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dr = 567.719810000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59048673-0.59058260) × cos(0.37790432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929439926328265 × 6371000     		do = 567.690539950993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59048673-0.59058260) × cos(0.37781521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		du = 567.710619926272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37790432)-sin(0.37781521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929439926328265-0.929472801864197)×R²
    abs(0.59058260-0.59048673)×3.28755359318977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28755359318977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28755359318977e-05×40589641000000     		ar = 322294.865592913m²