Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38925 / 28493
↖ ↑ ↗
← N 22.852133°
E 33.821411°		 ← 562.91 m → N 22.852133°
E 33.826905°		 →
↑
562.88 m
↓
↑
562.88 m
↓
N 22.847071°
E 33.821411°		 ← 562.93 m →
316 853 m²		 N 22.847071°
E 33.826905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593955993652344 y=0.434776306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593955993652344 × 216)
    floor (0.593955993652344 × 65536)
    floor (38925.5)     		tx = 38925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434776306152344 × 216)
    floor (0.434776306152344 × 65536)
    floor (28493.5)     		ty = 28493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38925 / 28493 ti = "16/38925/28493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38925/28493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38925 ÷ 216
    38925 ÷ 65536     		x = 0.593948364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28493 ÷ 216
    28493 ÷ 65536     		y = 0.434768676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593948364257812 × 2 - 1) × π
    0.187896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59029498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434768676757812 × 2 - 1) × π
    0.130462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40986049175148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59029498} λ = 0.59029498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40986049175148))-π/2
    2×atan(1.50660758626539)-π/2
    2×0.984820642524422-π/2
    1.96964128504884-1.57079632675     		φ = 0.39884496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59029498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.821411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39884496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.852133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38925 KachelY 28493 0.59029498 0.39884496 33.821411 22.852133
    Oben rechts KachelX + 1 38926 KachelY 28493 0.59039086 0.39884496 33.826905 22.852133
    Unten links KachelX 38925 KachelY + 1 28494 0.59029498 0.39875661 33.821411 22.847071
    Unten rechts KachelX + 1 38926 KachelY + 1 28494 0.59039086 0.39875661 33.826905 22.847071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39884496-0.39875661) × R
    8.83500000000148e-05 × 6371000     		dl = 562.877850000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39884496-0.39875661) × R
    8.83500000000148e-05 × 6371000     		dr = 562.877850000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59029498-0.59039086) × cos(0.39884496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.921510173263291 × 6371000     		do = 562.905853172568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59029498-0.59039086) × cos(0.39875661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.9215444807621 × 6371000     		du = 562.926809958991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39884496)-sin(0.39875661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921510173263291-0.9215444807621)×R²
    abs(0.59039086-0.59029498)×3.43074988092829e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43074988092829e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43074988092829e-05×40589641000000     		ar = 316853.134647645m²