Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38923 / 28701
↖ ↑ ↗
← N 21.795207°
E 33.810425°		 ← 567.19 m → N 21.795207°
E 33.815918°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
N 21.790107°
E 33.810425°		 ← 567.21 m →
321 683 m²		 N 21.790107°
E 33.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593925476074219 y=0.437950134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593925476074219 × 216)
    floor (0.593925476074219 × 65536)
    floor (38923.5)     		tx = 38923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437950134277344 × 216)
    floor (0.437950134277344 × 65536)
    floor (28701.5)     		ty = 28701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38923 / 28701 ti = "16/38923/28701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38923/28701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38923 ÷ 216
    38923 ÷ 65536     		x = 0.593917846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28701 ÷ 216
    28701 ÷ 65536     		y = 0.437942504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593917846679688 × 2 - 1) × π
    0.187835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59010323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437942504882812 × 2 - 1) × π
    0.124114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389918741509537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59010323} λ = 0.59010323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389918741509537))-π/2
    2×atan(1.47686078152897)-π/2
    2×0.975597230683041-π/2
    1.95119446136608-1.57079632675     		φ = 0.38039813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59010323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.810425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38039813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.795207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38923 KachelY 28701 0.59010323 0.38039813 33.810425 21.795207
    Oben rechts KachelX + 1 38924 KachelY 28701 0.59019911 0.38039813 33.815918 21.795207
    Unten links KachelX 38923 KachelY + 1 28702 0.59010323 0.38030911 33.810425 21.790107
    Unten rechts KachelX + 1 38924 KachelY + 1 28702 0.59019911 0.38030911 33.815918 21.790107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38039813-0.38030911) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38039813-0.38030911) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59010323-0.59019911) × cos(0.38039813) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		do = 567.185914881981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59010323-0.59019911) × cos(0.38030911) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928549935985551 × 6371000     		du = 567.206102650964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38039813)-sin(0.38030911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928516887413772-0.928549935985551)×R²
    abs(0.59019911-0.59010323)×3.30485717795481e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.30485717795481e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.30485717795481e-05×40589641000000     		ar = 321683.18602281m²