Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38920 / 28682
↖ ↑ ↗
← N 21.892084°
E 33.793945°		 ← 566.80 m → N 21.892084°
E 33.799439°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
N 21.886987°
E 33.793945°		 ← 566.82 m →
321 249 m²		 N 21.886987°
E 33.799439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593879699707031 y=0.437660217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593879699707031 × 216)
    floor (0.593879699707031 × 65536)
    floor (38920.5)     		tx = 38920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437660217285156 × 216)
    floor (0.437660217285156 × 65536)
    floor (28682.5)     		ty = 28682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38920 / 28682 ti = "16/38920/28682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38920/28682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38920 ÷ 216
    38920 ÷ 65536     		x = 0.5938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28682 ÷ 216
    28682 ÷ 65536     		y = 0.437652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437652587890625 × 2 - 1) × π
    0.12469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391740343695099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58981561} λ = 0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391740343695099))-π/2
    2×atan(1.47955348613008)-π/2
    2×0.976442638549127-π/2
    1.95288527709825-1.57079632675     		φ = 0.38208895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38208895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.892084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38920 KachelY 28682 0.58981561 0.38208895 33.793945 21.892084
    Oben rechts KachelX + 1 38921 KachelY 28682 0.58991149 0.38208895 33.799439 21.892084
    Unten links KachelX 38920 KachelY + 1 28683 0.58981561 0.38199999 33.793945 21.886987
    Unten rechts KachelX + 1 38921 KachelY + 1 28683 0.58991149 0.38199999 33.799439 21.886987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38208895-0.38199999) × R
    8.89599999999713e-05 × 6371000     		dl = 566.764159999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38208895-0.38199999) × R
    8.89599999999713e-05 × 6371000     		dr = 566.764159999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58981561-0.58991149) × cos(0.38208895) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927887775613638 × 6371000     		do = 566.801621007127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58981561-0.58991149) × cos(0.38199999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927920941531363 × 6371000     		du = 566.821880457055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38208895)-sin(0.38199999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927887775613638-0.927920941531363)×R²
    abs(0.58991149-0.58981561)×3.31659177256194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31659177256194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31659177256194e-05×40589641000000     		ar = 321248.585993483m²