Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3892 / 2439
↖ ↑ ↗
← N 58.654085°
W  8.964844°		 ← 2 541.97 m → N 58.654085°
W  8.920898°		 →
↑
2 542.86 m
↓
↑
2 542.86 m
↓
N 58.631216°
W  8.964844°		 ← 2 543.64 m →
6 465 989 m²		 N 58.631216°
W  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47515869140625 y=0.29779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47515869140625 × 213)
    floor (0.47515869140625 × 8192)
    floor (3892.5)     		tx = 3892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29779052734375 × 213)
    floor (0.29779052734375 × 8192)
    floor (2439.5)     		ty = 2439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3892 / 2439 ti = "13/3892/2439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3892/2439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3892 ÷ 213
    3892 ÷ 8192     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2439 ÷ 213
    2439 ÷ 8192     		y = 0.2977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2977294921875 × 2 - 1) × π
    0.404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27090308272693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27090308272693))-π/2
    2×atan(3.56406975927656)-π/2
    2×1.29725161179002-π/2
    2.59450322358004-1.57079632675     		φ = 1.02370690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02370690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.654085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3892 KachelY 2439 -0.15646604 1.02370690 -8.964844 58.654085
    Oben rechts KachelX + 1 3893 KachelY 2439 -0.15569905 1.02370690 -8.920898 58.654085
    Unten links KachelX 3892 KachelY + 1 2440 -0.15646604 1.02330777 -8.964844 58.631216
    Unten rechts KachelX + 1 3893 KachelY + 1 2440 -0.15569905 1.02330777 -8.920898 58.631216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02370690-1.02330777) × R
    0.000399130000000136 × 6371000     		dl = 2542.85723000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02370690-1.02330777) × R
    0.000399130000000136 × 6371000     		dr = 2542.85723000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15569905) × cos(1.02370690) × R
    0.000766989999999995 × 0.520203683449229 × 6371000     		do = 2541.97180860792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15569905) × cos(1.02330777) × R
    0.000766989999999995 × 0.520544515879301 × 6371000     		du = 2543.63728399049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02370690)-sin(1.02330777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520203683449229-0.520544515879301)×R²
    abs(-0.15569905--0.15646604)×0.000340832430072324×R²
    0.000766989999999995×0.000340832430072324×6371000²
    0.000766989999999995×0.000340832430072324×40589641000000     		ar = 6465989.01087293m²