Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3892 / 2402
↖ ↑ ↗
← N 59.489726°
W  8.964844°		 ← 2 480.84 m → N 59.489726°
W  8.920898°		 →
↑
2 481.63 m
↓
↑
2 481.63 m
↓
N 59.467408°
W  8.964844°		 ← 2 482.48 m →
6 158 561 m²		 N 59.467408°
W  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47515869140625 y=0.29327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47515869140625 × 213)
    floor (0.47515869140625 × 8192)
    floor (3892.5)     		tx = 3892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29327392578125 × 213)
    floor (0.29327392578125 × 8192)
    floor (2402.5)     		ty = 2402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3892 / 2402 ti = "13/3892/2402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3892/2402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3892 ÷ 213
    3892 ÷ 8192     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2402 ÷ 213
    2402 ÷ 8192     		y = 0.293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293212890625 × 2 - 1) × π
    0.41357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.299281727302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.299281727302))-π/2
    2×atan(3.66666205829928)-π/2
    2×1.30454395860278-π/2
    2.60908791720556-1.57079632675     		φ = 1.03829159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03829159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.489726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3892 KachelY 2402 -0.15646604 1.03829159 -8.964844 59.489726
    Oben rechts KachelX + 1 3893 KachelY 2402 -0.15569905 1.03829159 -8.920898 59.489726
    Unten links KachelX 3892 KachelY + 1 2403 -0.15646604 1.03790207 -8.964844 59.467408
    Unten rechts KachelX + 1 3893 KachelY + 1 2403 -0.15569905 1.03790207 -8.920898 59.467408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03829159-1.03790207) × R
    0.000389520000000143 × 6371000     		dl = 2481.63192000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03829159-1.03790207) × R
    0.000389520000000143 × 6371000     		dr = 2481.63192000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15569905) × cos(1.03829159) × R
    0.000766989999999995 × 0.507692857778521 × 6371000     		do = 2480.83774291565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15569905) × cos(1.03790207) × R
    0.000766989999999995 × 0.508028405590247 × 6371000     		du = 2482.47739504613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03829159)-sin(1.03790207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507692857778521-0.508028405590247)×R²
    abs(-0.15569905--0.15646604)×0.000335547811726511×R²
    0.000766989999999995×0.000335547811726511×6371000²
    0.000766989999999995×0.000335547811726511×40589641000000     		ar = 6158560.71556297m²