Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 38914 / 26625
↖ ↑ ↗
← N 72.394875°
W 73.119507°		 ← 92.38 m → N 72.394875°
W 73.116760°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
N 72.394044°
W 73.119507°		 ← 92.38 m →
8 534 m²		 N 72.394044°
W 73.116760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.296894073486328 y=0.203136444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.296894073486328 × 217)
    floor (0.296894073486328 × 131072)
    floor (38914.5)     		tx = 38914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203136444091797 × 217)
    floor (0.203136444091797 × 131072)
    floor (26625.5)     		ty = 26625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 38914 / 26625 ti = "17/38914/26625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/38914/26625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38914 ÷ 217
    38914 ÷ 131072     		x = 0.296890258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26625 ÷ 217
    26625 ÷ 131072     		y = 0.203132629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.296890258789062 × 2 - 1) × π
    -0.406219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.27617614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203132629394531 × 2 - 1) × π
    0.593734741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.86527270111601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.27617614} λ = -1.27617614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86527270111601))-π/2
    2×atan(6.45769666698475)-π/2
    2×1.41716262861583-π/2
    2.83432525723165-1.57079632675     		φ = 1.26352893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.27617614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.119507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26352893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.394875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38914 KachelY 26625 -1.27617614 1.26352893 -73.119507 72.394875
    Oben rechts KachelX + 1 38915 KachelY 26625 -1.27612820 1.26352893 -73.116760 72.394875
    Unten links KachelX 38914 KachelY + 1 26626 -1.27617614 1.26351443 -73.119507 72.394044
    Unten rechts KachelX + 1 38915 KachelY + 1 26626 -1.27612820 1.26351443 -73.116760 72.394044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26352893-1.26351443) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26352893-1.26351443) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.27617614--1.27612820) × cos(1.26352893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302455150962665 × 6371000     		do = 92.3775882995232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.27617614--1.27612820) × cos(1.26351443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302468971803322 × 6371000     		du = 92.3818095400083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26352893)-sin(1.26351443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302455150962665-0.302468971803322)×R²
    abs(-1.27612820--1.27617614)×1.38208406571527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38208406571527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38208406571527e-05×40589641000000     		ar = 8533.99039652987m²