Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3891 / 2194
↖ ↑ ↗
← N 63.821288°
W  9.008789°		 ← 2 155.79 m → N 63.821288°
W  8.964844°		 →
↑
2 156.52 m
↓
↑
2 156.52 m
↓
N 63.801893°
W  9.008789°		 ← 2 157.27 m →
4 650 596 m²		 N 63.801893°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47503662109375 y=0.26788330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47503662109375 × 213)
    floor (0.47503662109375 × 8192)
    floor (3891.5)     		tx = 3891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26788330078125 × 213)
    floor (0.26788330078125 × 8192)
    floor (2194.5)     		ty = 2194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3891 / 2194 ti = "13/3891/2194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3891/2194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3891 ÷ 213
    3891 ÷ 8192     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2194 ÷ 213
    2194 ÷ 8192     		y = 0.267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267822265625 × 2 - 1) × π
    0.46435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45881572923755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45881572923755))-π/2
    2×atan(4.30086312472803)-π/2
    2×1.34234396458851-π/2
    2.68468792917702-1.57079632675     		φ = 1.11389160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11389160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.821288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3891 KachelY 2194 -0.15723303 1.11389160 -9.008789 63.821288
    Oben rechts KachelX + 1 3892 KachelY 2194 -0.15646604 1.11389160 -8.964844 63.821288
    Unten links KachelX 3891 KachelY + 1 2195 -0.15723303 1.11355311 -9.008789 63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 3892 KachelY + 1 2195 -0.15646604 1.11355311 -8.964844 63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11389160-1.11355311) × R
    0.00033849000000008 × 6371000     		dl = 2156.51979000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11389160-1.11355311) × R
    0.00033849000000008 × 6371000     		dr = 2156.51979000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15646604) × cos(1.11389160) × R
    0.000766989999999995 × 0.441172457439575 × 6371000     		do = 2155.78625301128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15646604) × cos(1.11355311) × R
    0.000766989999999995 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 2157.27049216645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11389160)-sin(1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441172457439575-0.441476200649088)×R²
    abs(-0.15646604--0.15723303)×0.000303743209512486×R²
    0.000766989999999995×0.000303743209512486×6371000²
    0.000766989999999995×0.000303743209512486×40589641000000     		ar = 4650596.15758902m²