Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38909 / 28669
↖ ↑ ↗
← N 21.958330°
E 33.733520°		 ← 566.48 m → N 21.958330°
E 33.739013°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
N 21.953235°
E 33.733520°		 ← 566.50 m →
320 921 m²		 N 21.953235°
E 33.739013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593711853027344 y=0.437461853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593711853027344 × 216)
    floor (0.593711853027344 × 65536)
    floor (38909.5)     		tx = 38909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437461853027344 × 216)
    floor (0.437461853027344 × 65536)
    floor (28669.5)     		ty = 28669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38909 / 28669 ti = "16/38909/28669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38909/28669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38909 ÷ 216
    38909 ÷ 65536     		x = 0.593704223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28669 ÷ 216
    28669 ÷ 65536     		y = 0.437454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593704223632812 × 2 - 1) × π
    0.187408447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58876100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437454223632812 × 2 - 1) × π
    0.125091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39298670308522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58876100} λ = 0.58876100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39298670308522))-π/2
    2×atan(1.48139869116615)-π/2
    2×0.977020744902919-π/2
    1.95404148980584-1.57079632675     		φ = 0.38324516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58876100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.733520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38324516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.958330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38909 KachelY 28669 0.58876100 0.38324516 33.733520 21.958330
    Oben rechts KachelX + 1 38910 KachelY 28669 0.58885687 0.38324516 33.739013 21.958330
    Unten links KachelX 38909 KachelY + 1 28670 0.58876100 0.38315624 33.733520 21.953235
    Unten rechts KachelX + 1 38910 KachelY + 1 28670 0.58885687 0.38315624 33.739013 21.953235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38324516-0.38315624) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dl = 566.509319999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38324516-0.38315624) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dr = 566.509319999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58876100-0.58885687) × cos(0.38324516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927456051509891 × 6371000     		do = 566.478813474719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58876100-0.58885687) × cos(0.38315624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92748929789238 × 6371000     		du = 566.49911995854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38324516)-sin(0.38315624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927456051509891-0.92748929789238)×R²
    abs(0.58885687-0.58876100)×3.32463824890272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32463824890272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32463824890272e-05×40589641000000     		ar = 320921.279533464m²