Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38906 / 28782
↖ ↑ ↗
← N 21.381475°
E 33.717041°		 ← 568.75 m → N 21.381475°
E 33.722534°		 →
↑
568.80 m
↓
↑
568.80 m
↓
N 21.376360°
E 33.717041°		 ← 568.77 m →
323 512 m²		 N 21.376360°
E 33.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593666076660156 y=0.439186096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593666076660156 × 216)
    floor (0.593666076660156 × 65536)
    floor (38906.5)     		tx = 38906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439186096191406 × 216)
    floor (0.439186096191406 × 65536)
    floor (28782.5)     		ty = 28782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38906 / 28782 ti = "16/38906/28782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38906/28782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38906 ÷ 216
    38906 ÷ 65536     		x = 0.593658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28782 ÷ 216
    28782 ÷ 65536     		y = 0.439178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593658447265625 × 2 - 1) × π
    0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382152963771088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58847338} λ = 0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382152963771088))-π/2
    2×atan(1.46543622664127)-π/2
    2×0.971986731434478-π/2
    1.94397346286896-1.57079632675     		φ = 0.37317714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37317714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.381475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38906 KachelY 28782 0.58847338 0.37317714 33.717041 21.381475
    Oben rechts KachelX + 1 38907 KachelY 28782 0.58856925 0.37317714 33.722534 21.381475
    Unten links KachelX 38906 KachelY + 1 28783 0.58847338 0.37308786 33.717041 21.376360
    Unten rechts KachelX + 1 38907 KachelY + 1 28783 0.58856925 0.37308786 33.722534 21.376360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37317714-0.37308786) × R
    8.92800000000249e-05 × 6371000     		dl = 568.802880000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37317714-0.37308786) × R
    8.92800000000249e-05 × 6371000     		dr = 568.802880000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58847338-0.58856925) × cos(0.37317714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931173739131351 × 6371000     		do = 568.749531606587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58847338-0.58856925) × cos(0.37308786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931206284741896 × 6371000     		du = 568.769410067475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37317714)-sin(0.37308786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931173739131351-0.931206284741896)×R²
    abs(0.58856925-0.58847338)×3.25456105452204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25456105452204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25456105452204e-05×40589641000000     		ar = 323512.025254227m²