Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38904 / 28664
↖ ↑ ↗
← N 21.983802°
E 33.706055°		 ← 566.44 m → N 21.983802°
E 33.711548°		 →
↑
566.45 m
↓
↑
566.45 m
↓
N 21.978707°
E 33.706055°		 ← 566.46 m →
320 861 m²		 N 21.978707°
E 33.711548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593635559082031 y=0.437385559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593635559082031 × 216)
    floor (0.593635559082031 × 65536)
    floor (38904.5)     		tx = 38904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437385559082031 × 216)
    floor (0.437385559082031 × 65536)
    floor (28664.5)     		ty = 28664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38904 / 28664 ti = "16/38904/28664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38904/28664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38904 ÷ 216
    38904 ÷ 65536     		x = 0.5936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28664 ÷ 216
    28664 ÷ 65536     		y = 0.4373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5936279296875 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.393466072081421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58828163} λ = 0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393466072081421))-π/2
    2×atan(1.48210899800564)-π/2
    2×0.977243021811214-π/2
    1.95448604362243-1.57079632675     		φ = 0.38368972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38368972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38904 KachelY 28664 0.58828163 0.38368972 33.706055 21.983802
    Oben rechts KachelX + 1 38905 KachelY 28664 0.58837751 0.38368972 33.711548 21.983802
    Unten links KachelX 38904 KachelY + 1 28665 0.58828163 0.38360081 33.706055 21.978707
    Unten rechts KachelX + 1 38905 KachelY + 1 28665 0.58837751 0.38360081 33.711548 21.978707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38368972-0.38360081) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dl = 566.445609999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38368972-0.38360081) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dr = 566.445609999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58828163-0.58837751) × cos(0.38368972) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927289724578809 × 6371000     		do = 566.436300648043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58828163-0.58837751) × cos(0.38360081) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927323003878642 × 6371000     		du = 566.456629357599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38368972)-sin(0.38360081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927289724578809-0.927323003878642)×R²
    abs(0.58837751-0.58828163)×3.32792998326559e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.32792998326559e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.32792998326559e-05×40589641000000     		ar = 320861.113612308m²