Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38903 / 29079
↖ ↑ ↗
← N 19.854561°
E 33.700562°		 ← 574.48 m → N 19.854561°
E 33.706055°		 →
↑
574.54 m
↓
↑
574.54 m
↓
N 19.849394°
E 33.700562°		 ← 574.50 m →
330 066 m²		 N 19.849394°
E 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593620300292969 y=0.443717956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593620300292969 × 216)
    floor (0.593620300292969 × 65536)
    floor (38903.5)     		tx = 38903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443717956542969 × 216)
    floor (0.443717956542969 × 65536)
    floor (29079.5)     		ty = 29079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38903 / 29079 ti = "16/38903/29079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38903/29079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38903 ÷ 216
    38903 ÷ 65536     		x = 0.593612670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29079 ÷ 216
    29079 ÷ 65536     		y = 0.443710327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593612670898438 × 2 - 1) × π
    0.187225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58818576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443710327148438 × 2 - 1) × π
    0.112579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353678445396774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58818576} λ = 0.58818576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353678445396774))-π/2
    2×atan(1.42429712354128)-π/2
    2×0.958661891100314-π/2
    1.91732378220063-1.57079632675     		φ = 0.34652746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58818576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.700562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34652746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.854561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38903 KachelY 29079 0.58818576 0.34652746 33.700562 19.854561
    Oben rechts KachelX + 1 38904 KachelY 29079 0.58828163 0.34652746 33.706055 19.854561
    Unten links KachelX 38903 KachelY + 1 29080 0.58818576 0.34643728 33.700562 19.849394
    Unten rechts KachelX + 1 38904 KachelY + 1 29080 0.58828163 0.34643728 33.706055 19.849394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34652746-0.34643728) × R
    9.01799999999953e-05 × 6371000     		dl = 574.53677999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34652746-0.34643728) × R
    9.01799999999953e-05 × 6371000     		dr = 574.53677999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58818576-0.58828163) × cos(0.34652746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940557773083382 × 6371000     		do = 574.481184777752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58818576-0.58828163) × cos(0.34643728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940588397429256 × 6371000     		du = 574.499889753676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34652746)-sin(0.34643728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940557773083382-0.940588397429256)×R²
    abs(0.58828163-0.58818576)×3.06243458743083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06243458743083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06243458743083e-05×40589641000000     		ar = 330065.943644612m²