Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38901 / 28692
↖ ↑ ↗
← N 21.841105°
E 33.689575°		 ← 566.94 m → N 21.841105°
E 33.695068°		 →
↑
566.96 m
↓
↑
566.96 m
↓
N 21.836006°
E 33.689575°		 ← 566.97 m →
321 438 m²		 N 21.836006°
E 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593589782714844 y=0.437812805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593589782714844 × 216)
    floor (0.593589782714844 × 65536)
    floor (38901.5)     		tx = 38901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437812805175781 × 216)
    floor (0.437812805175781 × 65536)
    floor (28692.5)     		ty = 28692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38901 / 28692 ti = "16/38901/28692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38901/28692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38901 ÷ 216
    38901 ÷ 65536     		x = 0.593582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28692 ÷ 216
    28692 ÷ 65536     		y = 0.43780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593582153320312 × 2 - 1) × π
    0.187164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58799401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43780517578125 × 2 - 1) × π
    0.1243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.390781605702698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58799401} λ = 0.58799401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390781605702698))-π/2
    2×atan(1.47813566176078)-π/2
    2×0.975997758464342-π/2
    1.95199551692868-1.57079632675     		φ = 0.38119919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58799401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.689575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38119919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.841105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38901 KachelY 28692 0.58799401 0.38119919 33.689575 21.841105
    Oben rechts KachelX + 1 38902 KachelY 28692 0.58808988 0.38119919 33.695068 21.841105
    Unten links KachelX 38901 KachelY + 1 28693 0.58799401 0.38111020 33.689575 21.836006
    Unten rechts KachelX + 1 38902 KachelY + 1 28693 0.58808988 0.38111020 33.695068 21.836006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38119919-0.38111020) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dl = 566.95529000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38119919-0.38111020) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dr = 566.95529000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58799401-0.58808988) × cos(0.38119919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928219163829304 × 6371000     		do = 566.944913146553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58799401-0.58808988) × cos(0.38111020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928252267445989 × 6371000     		du = 566.965132430767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38119919)-sin(0.38111020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928219163829304-0.928252267445989)×R²
    abs(0.58808988-0.58799401)×3.31036166850707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31036166850707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31036166850707e-05×40589641000000     		ar = 321438.149574308m²