Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38900 / 28660
↖ ↑ ↗
← N 22.004175°
E 33.684082°		 ← 566.30 m → N 22.004175°
E 33.689575°		 →
↑
566.32 m
↓
↑
566.32 m
↓
N 21.999082°
E 33.684082°		 ← 566.32 m →
320 709 m²		 N 21.999082°
E 33.689575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593574523925781 y=0.437324523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593574523925781 × 216)
    floor (0.593574523925781 × 65536)
    floor (38900.5)     		tx = 38900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437324523925781 × 216)
    floor (0.437324523925781 × 65536)
    floor (28660.5)     		ty = 28660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38900 / 28660 ti = "16/38900/28660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38900/28660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38900 ÷ 216
    38900 ÷ 65536     		x = 0.59356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28660 ÷ 216
    28660 ÷ 65536     		y = 0.43731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43731689453125 × 2 - 1) × π
    0.1253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.393849567278381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58789814} λ = 0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393849567278381))-π/2
    2×atan(1.48267748868751)-π/2
    2×0.977420814623267-π/2
    1.95484162924653-1.57079632675     		φ = 0.38404530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38404530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.004175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38900 KachelY 28660 0.58789814 0.38404530 33.684082 22.004175
    Oben rechts KachelX + 1 38901 KachelY 28660 0.58799401 0.38404530 33.689575 22.004175
    Unten links KachelX 38900 KachelY + 1 28661 0.58789814 0.38395641 33.684082 21.999082
    Unten rechts KachelX + 1 38901 KachelY + 1 28661 0.58799401 0.38395641 33.689575 21.999082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38404530-0.38395641) × R
    8.88899999999526e-05 × 6371000     		dl = 566.318189999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38404530-0.38395641) × R
    8.88899999999526e-05 × 6371000     		dr = 566.318189999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58789814-0.58799401) × cos(0.38404530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927156556560419 × 6371000     		do = 566.295885622405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58789814-0.58799401) × cos(0.38395641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927189857682749 × 6371000     		du = 566.316225540651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38404530)-sin(0.38395641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927156556560419-0.927189857682749)×R²
    abs(0.58799401-0.58789814)×3.33011223299096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33011223299096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33011223299096e-05×40589641000000     		ar = 320709.420593929m²