Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3890 / 1845
↖ ↑ ↗
← N 79.978068°
W 94.526367°		 ← 425.19 m → N 79.978068°
W 94.504394°		 →
↑
425.26 m
↓
↑
425.26 m
↓
N 79.974243°
W 94.526367°		 ← 425.35 m →
180 853 m²		 N 79.974243°
W 94.504394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.237457275390625 y=0.112640380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.237457275390625 × 214)
    floor (0.237457275390625 × 16384)
    floor (3890.5)     		tx = 3890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112640380859375 × 214)
    floor (0.112640380859375 × 16384)
    floor (1845.5)     		ty = 1845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3890 / 1845 ti = "14/3890/1845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3890/1845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3890 ÷ 214
    3890 ÷ 16384     		x = 0.2374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1845 ÷ 214
    1845 ÷ 16384     		y = 0.11260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.64979634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11260986328125 × 2 - 1) × π
    0.7747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43404401510797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64979634} λ = -1.64979634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43404401510797))-π/2
    2×atan(11.4049105779839)-π/2
    2×1.48333846674836-π/2
    2.96667693349672-1.57079632675     		φ = 1.39588061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64979634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39588061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.978068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3890 KachelY 1845 -1.64979634 1.39588061 -94.526367 79.978068
    Oben rechts KachelX + 1 3891 KachelY 1845 -1.64941284 1.39588061 -94.504394 79.978068
    Unten links KachelX 3890 KachelY + 1 1846 -1.64979634 1.39581386 -94.526367 79.974243
    Unten rechts KachelX + 1 3891 KachelY + 1 1846 -1.64941284 1.39581386 -94.504394 79.974243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39588061-1.39581386) × R
    6.67500000000043e-05 × 6371000     		dl = 425.264250000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39588061-1.39581386) × R
    6.67500000000043e-05 × 6371000     		dr = 425.264250000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64979634--1.64941284) × cos(1.39588061) × R
    0.00038349999999987 × 0.174025141066442 × 6371000     		do = 425.191885626962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64979634--1.64941284) × cos(1.39581386) × R
    0.00038349999999987 × 0.174090872154458 × 6371000     		du = 425.352484981091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39588061)-sin(1.39581386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174025141066442-0.174090872154458)×R²
    abs(-1.64941284--1.64979634)×6.57310880153306e-05×R²
    0.00038349999999987×6.57310880153306e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.57310880153306e-05×40589641000000     		ar = 180853.056995698m²