Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38899 / 28661
↖ ↑ ↗
← N 21.999082°
E 33.678589°		 ← 566.38 m → N 21.999082°
E 33.684082°		 →
↑
566.32 m
↓
↑
566.32 m
↓
N 21.993989°
E 33.678589°		 ← 566.40 m →
320 754 m²		 N 21.993989°
E 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593559265136719 y=0.437339782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593559265136719 × 216)
    floor (0.593559265136719 × 65536)
    floor (38899.5)     		tx = 38899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437339782714844 × 216)
    floor (0.437339782714844 × 65536)
    floor (28661.5)     		ty = 28661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38899 / 28661 ti = "16/38899/28661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38899/28661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38899 ÷ 216
    38899 ÷ 65536     		x = 0.593551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28661 ÷ 216
    28661 ÷ 65536     		y = 0.437332153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593551635742188 × 2 - 1) × π
    0.187103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58780226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437332153320312 × 2 - 1) × π
    0.125335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.393753693479141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58780226} λ = 0.58780226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393753693479141))-π/2
    2×atan(1.48253534557763)-π/2
    2×0.977376368814312-π/2
    1.95475273762862-1.57079632675     		φ = 0.38395641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58780226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.678589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38395641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.999082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38899 KachelY 28661 0.58780226 0.38395641 33.678589 21.999082
    Oben rechts KachelX + 1 38900 KachelY 28661 0.58789814 0.38395641 33.684082 21.999082
    Unten links KachelX 38899 KachelY + 1 28662 0.58780226 0.38386752 33.678589 21.993989
    Unten rechts KachelX + 1 38900 KachelY + 1 28662 0.58789814 0.38386752 33.684082 21.993989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38395641-0.38386752) × R
    8.88900000000081e-05 × 6371000     		dl = 566.318190000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38395641-0.38386752) × R
    8.88900000000081e-05 × 6371000     		dr = 566.318190000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58780226-0.58789814) × cos(0.38395641) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927189857682749 × 6371000     		do = 566.375296806125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58780226-0.58789814) × cos(0.38386752) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927223151478951 × 6371000     		du = 566.39563437081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38395641)-sin(0.38386752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927189857682749-0.927223151478951)×R²
    abs(0.58789814-0.58780226)×3.32937962022051e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.32937962022051e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.32937962022051e-05×40589641000000     		ar = 320754.391925642m²