Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38898 / 28690
↖ ↑ ↗
← N 21.851302°
E 33.673096°		 ← 566.90 m → N 21.851302°
E 33.678589°		 →
↑
566.96 m
↓
↑
566.96 m
↓
N 21.846203°
E 33.673096°		 ← 566.92 m →
321 415 m²		 N 21.846203°
E 33.678589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593544006347656 y=0.437782287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593544006347656 × 216)
    floor (0.593544006347656 × 65536)
    floor (38898.5)     		tx = 38898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437782287597656 × 216)
    floor (0.437782287597656 × 65536)
    floor (28690.5)     		ty = 28690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38898 / 28690 ti = "16/38898/28690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38898/28690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38898 ÷ 216
    38898 ÷ 65536     		x = 0.593536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28690 ÷ 216
    28690 ÷ 65536     		y = 0.437774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593536376953125 × 2 - 1) × π
    0.18707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58770639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437774658203125 × 2 - 1) × π
    0.12445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.390973353301178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58770639} λ = 0.58770639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390973353301178))-π/2
    2×atan(1.4784191178993)-π/2
    2×0.976086747187517-π/2
    1.95217349437503-1.57079632675     		φ = 0.38137717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58770639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.673096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38137717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.851302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38898 KachelY 28690 0.58770639 0.38137717 33.673096 21.851302
    Oben rechts KachelX + 1 38899 KachelY 28690 0.58780226 0.38137717 33.678589 21.851302
    Unten links KachelX 38898 KachelY + 1 28691 0.58770639 0.38128818 33.673096 21.846203
    Unten rechts KachelX + 1 38899 KachelY + 1 28691 0.58780226 0.38128818 33.678589 21.846203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38137717-0.38128818) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dl = 566.95529000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38137717-0.38128818) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dr = 566.95529000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58770639-0.58780226) × cos(0.38137717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92815293454388 × 6371000     		do = 566.904461109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58770639-0.58780226) × cos(0.38128818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928186052861847 × 6371000     		du = 566.924689372577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38137717)-sin(0.38128818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92815293454388-0.928186052861847)×R²
    abs(0.58780226-0.58770639)×3.31183179665961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31183179665961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31183179665961e-05×40589641000000     		ar = 321415.217622921m²