Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38897 / 29559
↖ ↑ ↗
← N 17.355882°
E 33.667603°		 ← 582.98 m → N 17.355882°
E 33.673096°		 →
↑
583.01 m
↓
↑
583.01 m
↓
N 17.350639°
E 33.667603°		 ← 583 m →
339 887 m²		 N 17.350639°
E 33.673096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593528747558594 y=0.451042175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593528747558594 × 216)
    floor (0.593528747558594 × 65536)
    floor (38897.5)     		tx = 38897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		ty = 29559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38897 / 29559 ti = "16/38897/29559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38897/29559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38897 ÷ 216
    38897 ÷ 65536     		x = 0.593521118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		y = 0.451034545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593521118164062 × 2 - 1) × π
    0.187042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58761052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    0.097930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.30765902176152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58761052} λ = 0.58761052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30765902176152))-π/2
    2×atan(1.36023709860359)-π/2
    2×0.936856801887425-π/2
    1.87371360377485-1.57079632675     		φ = 0.30291728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58761052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.667603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30291728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.355882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38897 KachelY 29559 0.58761052 0.30291728 33.667603 17.355882
    Oben rechts KachelX + 1 38898 KachelY 29559 0.58770639 0.30291728 33.673096 17.355882
    Unten links KachelX 38897 KachelY + 1 29560 0.58761052 0.30282577 33.667603 17.350639
    Unten rechts KachelX + 1 38898 KachelY + 1 29560 0.58770639 0.30282577 33.673096 17.350639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30291728-0.30282577) × R
    9.15100000000169e-05 × 6371000     		dl = 583.010210000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30291728-0.30282577) × R
    9.15100000000169e-05 × 6371000     		dr = 583.010210000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58761052-0.58770639) × cos(0.30291728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954470309956452 × 6371000     		do = 582.978792149497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58761052-0.58770639) × cos(0.30282577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954497603935591 × 6371000     		du = 582.99546297815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30291728)-sin(0.30282577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954470309956452-0.954497603935591)×R²
    abs(0.58770639-0.58761052)×2.72939791399196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72939791399196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72939791399196e-05×40589641000000     		ar = 339887.447905534m²